Какие одночлены должны заменить звездочки в выражении *(3x-y+4z) = -6xyz + * - 8yz^2, чтобы получилось тождество?

Для решения этой задачи, нам нужно найти значения одночленов, заменяющих звездочки, чтобы получить тождество. Давайте разберемся с пошаговым решением.

Шаг 1: Получение выражения во второй степени
Умножим оба выражения на выражение в скобках (3x-y+4z). При умножении двух одночленов, мы умножаем все члены одного выражения на все члены другого выражения. Обратим внимание, что порядок выражений не имеет значения, поэтому мы можем поменять их местами. Таким образом, мы получим:

\[(3x-y+4z) \cdot (3x-y+4z) = (-6xyz + * - 8yz^2) \cdot (3x-y+4z)\]

Умножение двух скобочных выражений влечет распределение и упрощение терминов. Применяя эти операции, получим:

\[9x^2 - 3xy + 12xz - 3xy + y^2 - 4yz + 12xz - 4yz + 16z^2 = -18x^2yz + * - 24xyz^2 + 3xy^2 - y^2z + 12xz^2 -4yz^2\]

Шаг 2: Упрощение получившегося уравнения

Соберем все подобные члены вместе:

\[9x^2 + 6xy + 24xz + y^2 - 8yz + 16z^2 = -18x^2yz + * - 24xyz^2 + 3xy^2 - y^2z + 12xz^2 -4yz^2\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором все члены с одинаковыми степенями переменных собраны вместе.

Шаг 3: Определение значений звездочек

Чтобы получить тождество, мы должны найти значения звездочек, которые сделают оба выражения равными друг другу.
Сравним члены уравнения с одинаковыми степенями переменных:

\(9x^2 = -18x^2yz\) - чтобы это было возможно, \(y = -\frac{1}{2}\), \(z = 0\)

\(6xy = *\) - этот член зависит от значений \(x\) и \(y\), поэтому его значение будет определено после определения \(x\) и \(y\)

\(24xz = *\) - этот член зависит от значений \(x\) и \(z\), поэтому его значение будет определено после определения \(x\) и \(z\)

\(y^2 = - y^2z\) - чтобы это было возможно, \(z = -1\)

\(-8yz = - 24xyz^2\) - чтобы это было возможно, \(x = 1\)

\(16z^2 = 12xz^2\) - чтобы это было возможно, \(x = \frac{2}{3}\)

Таким образом, неизвестные значения определены как:

\(x = \frac{2}{3}\), \(y = -\frac{1}{2}\), \(z = -1\)

Теперь мы можем найти значения звездочек:

\(6xy = 6 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -2\)

\(24xz = 24 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-1) = -16\)

Таким образом, значения звездочек равны -2 и -16 соответственно.

Подставив найденные значения одночленов в исходное уравнение, получаем:

\((3x-y+4z) \cdot (3x-y+4z) = (-6xyz + (-2) - 8yz^2)\)

Раскрыв скобки и упростив, получим:

\(9x^2 - 3xy + 12xz - 3xy + y^2 - 4yz + 12xz - 4yz + 16z^2 = - 18x^2yz - 2 - 8yz^2\)

Это тождество, и его можно проверить, подставив исходные значения обратно в уравнение.