Хай (bn) буде геометричною прогресією зі співвідношенням b2=125 і b4=5. Знайдіть

Для решения данной задачи по геометрической прогрессии, мы будем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии.

Общая формула для геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \)

Где:
\( b_n \) - n-й член прогрессии
\( b_1 \) - первый член прогрессии
\( r \) - знаменатель прогрессии или коэффициент прогрессии

Мы знаем, что \( b_2 = 125 \) и \( b_4 = 5 \).

Давайте найдем первый член прогрессии \( b_1 \).

Для этого мы можем использовать отношение между \( b_2 \) и \( b_4 \) с помощью формулы отношения двух членов прогрессии.

Отношение двух членов прогрессии: \( \frac{{b_2}}{{b_4}} = \frac{{r^{(2-1)}}}{{r^{(4-1)}}} \)

Подставляя известные значения, получаем:

\( \frac{{125}}{{5}} = \frac{{r}}{{r^3}} \)

Упрощая эту дробь, получим:

\( 25 = \frac{{r}}{{r^3}} \)

Упрощая еще больше, получим:

\( 25 = \frac{{1}}{{r^2}} \)

Приведем это уравнение к квадратному виду:

\( r^2 = \frac{{1}}{{25}} \)

Решив это уравнение, получим два возможных значения для \( r \): \( r = \frac{{1}}{{5}} \) или \( r = -\frac{{1}}{{5}} \).

Теперь мы можем использовать одно из найденных значений для \( r \), чтобы найти первый член прогрессии \( b_1 \).

Используя значение \( r = \frac{{1}}{{5}} \), подставим его в формулу общего члена прогрессии для \( b_2 \):

\( b_2 = b_1 \cdot ( \frac{{1}}{{5}} )^{(2-1)} \)

Подставляя известное значение \( b_2 = 125 \), получаем:

\( 125 = b_1 \cdot ( \frac{{1}}{{5}} )^1 \)

Упрощая правую часть этого уравнения, получаем:

\( 125 = b_1 \cdot \frac{{1}}{{5}} \)

Умножая обе стороны на 5, получаем:

\( 625 = b_1 \)

Таким образом, мы получили значение первого члена прогрессии \( b_1 = 625 \).

Теперь, имея значения для \( b_1 \) и \( r \), мы можем найти любой другой член прогрессии, используя формулу общего члена прогрессии \( b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \).

Например, чтобы найти пятый член прогрессии \( b_5 \), мы можем подставить значения \( b_1 = 625 \), \( r = \frac{{1}}{{5}} \) и \( n = 5 \) в формулу:

\( b_5 = 625 \cdot ( \frac{{1}}{{5}} )^{(5-1)} \)

Упрощая это выражение, получаем:

\( b_5 = 625 \cdot ( \frac{{1}}{{5}} )^4 \)

Вычисляя значения в скобках, получаем:

\( b_5 = 625 \cdot ( \frac{{1}}{{625}} ) \)

Упрощая это дробное число, получаем:

\( b_5 = 1 \)

Таким образом, пятый член геометрической прогрессии равен 1.

Итак, мы нашли первый член прогрессии \( b_1 = 625 \) и пятый член прогрессии \( b_5 = 1 \) для данной геометрической прогрессии с заданными условиями \( b_2 = 125 \) и \( b_4 = 5 \).