Какие множества решений будут для неравенства |x-a|(3x^2-x-4) в зависимости от значения параметра?
Ledyanoy_Podryvnik
Давайте разберемся в этой задаче о неравенстве и найдем множества решений в зависимости от значения параметра \(a\).
Неравенство имеет следующий вид: \(|x-a|(3x^2-x-4) > 0\).
Для начала обратим внимание на то, что выражение \(|x-a|\) представляет собой модуль разности \(x\) и \(a\). Модуль всегда выражается неотрицательным числом или равен нулю. Поэтому \(|x-a|\) может быть равным нулю (когда \(x\) равно \(a\)) или положительным числом (когда \(x\) не равно \(a\)).
Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра \(a\):
1. Если \(a\) не является корнем уравнения \(3x^2-x-4 = 0\), то \(|x-a|\) всегда положительно. В этом случае множество решений неравенства будет зависеть только от знака выражения \(3x^2-x-4\).
Для определения знаковых интервалов, на которых неравенство выполняется, найдем корни уравнения \(3x^2-x-4 = 0\). Мы можем решить это уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 49\]
\[x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3}\]
\[x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{6}\]
Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = \frac{4}{3}\).
Теперь можно построить интервальную диаграмму:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& x<-1 & -1\frac{4}{3} \\
\hline
3x^2-x-4 & - & + & - \\
\hline
|x-a| & + & 0 & + \\
\hline
(x<-1)|x-a|(3x^2-x-4) & - & 0 & - \\
\hline
(-1
(x>\frac{4}{3})|x-a|(3x^2-x-4) & - & 0 & - \\
\hline
\end{array}
\]
По диаграмме видно, что на интервалах \((-1\frac{4}{3})\) неравенство выполняется, так как значение выражения \(|x-a|(3x^2-x-4)\) будет положительным.
Таким образом, для \(a\) в этих интервалах множество решений неравенства будет всем вещественным числам, кроме корней уравнения \(3x^2-x-4 = 0\).
2. Если \(a\) является корнем уравнения \(3x^2-x-4 = 0\), то \(|x-a|\) равно нулю при \(x = a\). В этом случае неравенство примет следующий вид:
\[0 \cdot (3x^2-x-4) > 0\]
Такое неравенство не имеет решений, так как произведение нуля на любое число больше нуля всегда будет равно нулю.
Таким образом, для \(a\) равного корню уравнения \(3x^2-x-4 = 0\) множество решений неравенства будет пустым.
Итак, в зависимости от значения параметра \(a\) получается два множества решений:
1. Если \(a <-1\) или \(a > \frac{4}{3}\), то все вещественные числа, кроме корней уравнения \(3x^2-x-4 = 0\), являются решениями неравенства.
2. Если \(a = -1\) или \(a = \frac{4}{3}\), то неравенство не имеет решений.
Надеюсь, это разъяснение помогло вам понять, какие множества решений будут для данного неравенства в зависимости от значения параметра \(a\). Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Неравенство имеет следующий вид: \(|x-a|(3x^2-x-4) > 0\).
Для начала обратим внимание на то, что выражение \(|x-a|\) представляет собой модуль разности \(x\) и \(a\). Модуль всегда выражается неотрицательным числом или равен нулю. Поэтому \(|x-a|\) может быть равным нулю (когда \(x\) равно \(a\)) или положительным числом (когда \(x\) не равно \(a\)).
Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра \(a\):
1. Если \(a\) не является корнем уравнения \(3x^2-x-4 = 0\), то \(|x-a|\) всегда положительно. В этом случае множество решений неравенства будет зависеть только от знака выражения \(3x^2-x-4\).
Для определения знаковых интервалов, на которых неравенство выполняется, найдем корни уравнения \(3x^2-x-4 = 0\). Мы можем решить это уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 49\]
\[x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3}\]
\[x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{6}\]
Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = \frac{4}{3}\).
Теперь можно построить интервальную диаграмму:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& x<-1 & -1
\hline
3x^2-x-4 & - & + & - \\
\hline
|x-a| & + & 0 & + \\
\hline
(x<-1)|x-a|(3x^2-x-4) & - & 0 & - \\
\hline
(-1
(x>\frac{4}{3})|x-a|(3x^2-x-4) & - & 0 & - \\
\hline
\end{array}
\]
По диаграмме видно, что на интервалах \((-1
Таким образом, для \(a\) в этих интервалах множество решений неравенства будет всем вещественным числам, кроме корней уравнения \(3x^2-x-4 = 0\).
2. Если \(a\) является корнем уравнения \(3x^2-x-4 = 0\), то \(|x-a|\) равно нулю при \(x = a\). В этом случае неравенство примет следующий вид:
\[0 \cdot (3x^2-x-4) > 0\]
Такое неравенство не имеет решений, так как произведение нуля на любое число больше нуля всегда будет равно нулю.
Таким образом, для \(a\) равного корню уравнения \(3x^2-x-4 = 0\) множество решений неравенства будет пустым.
Итак, в зависимости от значения параметра \(a\) получается два множества решений:
1. Если \(a <-1\) или \(a > \frac{4}{3}\), то все вещественные числа, кроме корней уравнения \(3x^2-x-4 = 0\), являются решениями неравенства.
2. Если \(a = -1\) или \(a = \frac{4}{3}\), то неравенство не имеет решений.
Надеюсь, это разъяснение помогло вам понять, какие множества решений будут для данного неравенства в зависимости от значения параметра \(a\). Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
