Какие координаты вершин и фокусов, длина осей и эксцентриситет эллипса можно найти в уравнении 9x^2+25y^2=4?

Для начала, давайте рассмотрим уравнение эллипса в общем виде:

\(\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\),

где (h, k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси эллипса.

В вашем уравнении \(9x^2+25y^2=4\) мы можем заметить, что удвоенные квадраты \(x^2\) и \(y^2\) имеют разные коэффициенты, что означает, что эллипс не выровнан относительно осей координат. Чтобы привести уравнение к стандартному виду, нам нужно поделить оба слагаемых на правую сторону равенства, чтобы получить 1.

Поделим оба слагаемых на 4:

\(\frac{{9x^2}}{{4}} + \frac{{25y^2}}{{4}} = 1\).

Теперь, давайте разделим оба слагаемых на 9 и 25 соответственно:

\(\frac{{x^2}}{{(2/3)^2}} + \frac{{y^2}}{{(2/5)^2}} = 1\).

Теперь мы можем сравнить это с общим уравнением эллипса:

\(\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\).

Сравнение показывает, что \(h=0\) (центр эллипса находится в начале координат), \(a = 2/3\) (полуось по оси x) и \(b = 2/5\) (полуось по оси y).

Теперь давайте найдем эксцентриситет эллипса.
Эксцентриситет эллипса определяется как \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\).
Подставим значения полуосей в формулу:

\(e = \sqrt{1 - \frac{(2/5)^2}{(2/3)^2}}\).

Упростим выражение:

\(e = \sqrt{1 - \frac{4/25}{4/9}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\).

Таким образом, координаты вершин эллипса: \((0, \pm \frac{2}{5})\), координаты фокусов: \((0, \pm \frac{2}{3})\), длина оси x: \(\frac{4}{3}\), длина оси y: \(\frac{4}{5}\) и эксцентриситет: \(\frac{4}{5}\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять данную задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.