Какие из следующих утверждений верны, если энергия магнитного поля контура увеличилась в четыре раза? 1) Сила тока

Для начала, давайте разберемся с тем, как изменяется энергия магнитного поля контура при изменении других физических величин.

Энергия магнитного поля \(W\) может быть вычислена по формуле:

\[W = \frac{1}{2} L I^2\]

где \(L\) - индуктивность контура, а \(I\) - сила тока, протекающего через контур. Здесь мы используем общепринятую формулу для энергии магнитного поля контура, она будет полезна для решения задачи.

Из условия задачи известно, что энергия магнитного поля контура увеличилась в четыре раза. Пусть изначальная энергия магнитного поля контура равна \(W_0\), а новая энергия - \(4W_0\).

Теперь рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

1) Сила тока увеличилась в четыре раза, а индуктивность не изменилась.

Пусть изначальная сила тока равна \(I_0\). Тогда, если сила тока увеличилась в четыре раза, новая сила тока будет равна \(4I_0\).
При этом, индуктивность контура не изменилась, то есть \(L\) осталась такой же.

Подставим значения \(I = 4I_0\) и \(L = L_0\) в формулу для энергии магнитного поля и рассмотрим полученное равенство:

\[4W_0 = \frac{1}{2} L_0 (4I_0)^2\]

Сократим числитель выражения на 4:

\[W_0 = \frac{1}{8} L_0 (4I_0)^2\]

Из этого равенства видно, что новая энергия магнитного поля равна \(\frac{1}{8}\) от начальной, что противоречит условию задачи. Из этого следует, что утверждение 1) неверно.

2) Сила тока уменьшилась в четыре раза, а индуктивность не изменилась.

Пусть изначальная сила тока равна \(I_0\). Если сила тока уменьшилась в четыре раза, новая сила тока будет равна \(\frac{1}{4}I_0\). Индуктивность контура не изменилась, то есть \(L\) осталась такой же.

Подставим значения \(I = \frac{1}{4}I_0\) и \(L = L_0\) в формулу для энергии магнитного поля и рассмотрим полученное равенство:

\[4W_0 = \frac{1}{2} L_0 \left(\frac{1}{4}I_0\right)^2\]

Возведем в квадрат значение \(\frac{1}{4}I_0\):

\[4W_0 = \frac{1}{2} L_0 \cdot \frac{1}{16} I_0^2\]

Сократим числитель выражения на 4 и числитель и знаменатель на 2:

\[W_0 = \frac{1}{8} L_0 \cdot \frac{1}{8} I_0^2\]

Из этого равенства видно, что новая энергия магнитного поля равна \(\frac{1}{64}\) от начальной, что противоречит условию задачи. Из этого следует, что и утверждение 2) неверно.

3) Сила тока увеличилась в два раза, а индуктивность не изменилась.

Пусть изначальная сила тока равна \(I_0\). Если сила тока увеличилась в два раза, новая сила тока будет равна \(2I_0\). Индуктивность контура не изменилась, то есть \(L\) осталась такой же.

Подставим значения \(I = 2I_0\) и \(L = L_0\) в формулу для энергии магнитного поля и рассмотрим полученное равенство:

\[4W_0 = \frac{1}{2} L_0 (2I_0)^2\]

Упростим выражение:

\[4W_0 = 2L_0 I_0^2\]

Разделим обе части равенства на 2:

\[2W_0 = L_0 I_0^2\]

Из этого равенства видно, что новая энергия магнитного поля равна половине от начальной, что противоречит условию задачи. Из этого следует, что и утверждение 3) неверно.

4) Сила тока увеличилась в четыре раза, а индуктивность уменьшилась в четыре раза.

Пусть изначальная сила тока равна \(I_0\). Если сила тока увеличилась в четыре раза, новая сила тока будет равна \(4I_0\). Если индуктивность контура уменьшилась в четыре раза, новая индуктивность будет равна \(\frac{1}{4}L_0\).

Подставим значения \(I = 4I_0\) и \(L = \frac{1}{4}L_0\) в формулу для энергии магнитного поля и рассмотрим полученное равенство:

\[4W_0 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}L_0\right) (4I_0)^2\]

Упростим выражение:

\[4W_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot L_0 \cdot 16I_0^2\]

Сократим числитель на 4:

\[W_0 = \frac{1}{8} L_0 \cdot 16I_0^2\]

Упростим выражение:

\[W_0 = 2L_0 \cdot 2I_0^2\]

Подставим значения \(W_0 = 4W_0\) в это уравнение:

\[4W_0 = 2L_0 \cdot 2I_0^2\]

Таким образом, получили равенство, которое соответствует условию задачи. Из этого следует, что утверждение 4) верно.

Итак, из всех предложенных утверждений только утверждение 4) верно.