Какие характеристики не меняются в процессе? Сколько кусков максимум Вася получит после 100 операций? 1)301 2)302 3)303

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть, как происходят операции и выяснить, какие характеристики остаются неизменными.

Пусть у Васи есть некоторое количество кусков в начале. Каждая операция состоит из двух шагов:

1. Вася берет один из имеющихся у него кусков и покрашивает его в другой цвет.
2. Затем Вася разрезает этот покрашенный кусок на две равные части.

Теперь рассмотрим каждую из характеристик в порядке их перечисления:

1) 301 кусок
После первой операции, у Васи останется 2 куска: один останется цветом и поменяет цвет, а другой останется нетронутым. Затем Вася будет разрезать эти два куска и у него будет 4. Поскольку каждая операция удваивает количество кусков, мы можем выразить общую формулу для количества кусков:
\[2^k\]
где k - количество операций. В нашем случае, k = 100, поэтому Вася получит:
\[2^{100} = 1267650600228229401496703205376\]
кусков. Ответ 301 не является верным в этом случае.

2) 302 куска
Аналогично первому случаю, Вася получит 2^{100} кусков. Ответ 302 также не является верным.

3) 303 куска
По той же самой формуле, Вася получит 2^{100} кусков. Ответ 303 также не является верным.

4) 504 куска
В этом случае, количество кусков - не степень двойки. Это означает, что на протяжении операций Вася не мог разрезать все куски на одинаковые части. К примеру, после первых 6 операций, у Васи будет 64 куска, и дальше количество кусков не будет увеличиваться в два раза на каждом шаге.
Следовательно, Вася не сможет получить 504 куска.

5) 505 кусков
По аналогии с предыдущим случаем, Вася не может получить 505 кусков.

6) 506 кусков
Аналогично, Вася не может получить 506 кусков.

7) 707 кусков
Снова, Вася не может получить 707 кусков.

8) 708 кусков
Количество кусков также не является степенью двойки, поэтому Вася не сможет получить 708 кусков.

9) 709 кусков
Также, Вася не сможет получить 709 кусков.

10) 901 кусок
Количество кусков также не является степенью двойки, следовательно, Вася не сможет получить 901 кусок.

11) 902 куска
Аналогично, Вася не сможет получить 902 куска.

12) 903 куска
Количество кусков также не является степенью двойки, поэтому Вася не сможет получить 903 куска.

Таким образом, из предложенных вариантов только ответы 301, 302, 303, 504, 505, 506, 707, 708, 709, 901, 902 и 903 неверны. Остальные варианты не указаны исходя из рассмотренных характеристик, так как подходящих вариантов нет.