Какие геометрические тела образуются при вращении прямоугольного треугольника с катетами длиной 1 см и 5 см вокруг

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала определиться с тем, какие геометрические тела образуются при вращении прямоугольного треугольника вокруг каждого из его катетов.

1. Вращение вокруг большего катета:
Для начала рассмотрим, что произойдет, если мы будем вращать треугольник вокруг большего катета, длиной 5 см. В результате получится конус. Давайте это докажем:

Когда треугольник вращается вокруг большего катета, он будет создавать поверхность вращения, которая будет образовывать конус. При вращении каждая точка на большем катете будет описывать окружность с радиусом 5 см, а высота конуса будет равна длине меньшего катета, т.е 1 см. Следовательно, геометрическое тело, которое образуется при вращении, будет конус.

2. Вращение вокруг меньшего катета:
Теперь рассмотрим вращение прямоугольного треугольника вокруг его меньшего катета, длиной 1 см. В результате получится полусфера. Давайте это докажем:

Когда треугольник вращается вокруг меньшего катета, он будет создавать поверхность вращения, которая будет образовывать полусферу. Радиус этой полусферы будет равен длине большего катета, т.е 5 см. Высота полусферы будет равна длине меньшего катета, т.е 1 см. Таким образом, геометрическое тело, которое образуется при вращении, будет полусфера.

Теперь мы можем сравнить площади боковых поверхностей этих двух геометрических тел - конуса и полусферы.

Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле \(S = \pi r l\), где \(r\) - радиус основания конуса (равен 5 см), а \(l\) - образующая конуса (равна длине меньшего катета, т.е 1 см). Подставляя значения, получаем \(S = \pi \cdot 5 \cdot 1 = 5\pi\) квадратных сантиметров.

Площадь боковой поверхности полусферы можно вычислить по формуле \(S = 2\pi r h\), где \(r\) - радиус полусферы (равен длине большего катета, т.е 5 см), а \(h\) - высота полусферы (равна длине меньшего катета, т.е 1 см). Подставляя значения, получаем \(S = 2\pi \cdot 5 \cdot 1 = 10\pi\) квадратных сантиметров.

Итак, площадь боковой поверхности конуса составляет \(5\pi\) квадратных сантиметров, а площадь боковой поверхности полусферы составляет \(10\pi\) квадратных сантиметров.

Мы видим, что площадь боковой поверхности полусферы в 2 раза больше, чем площадь боковой поверхности конуса.

Таким образом, геометрические тела, образующиеся при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего и меньшего катетов, соответственно, - это конус и полусфера. При этом площадь боковой поверхности полусферы в два раза больше, чем площадь боковой поверхности конуса.