Какие элементы следует вставить в пропуски? Как разложить этот многочлен на множители?

Чтобы найти элементы, которые следует вставить в пропуски, мы сначала упростим выражение, а затем используем правило разности квадратов для разложения многочлена на множители.

Давайте выполнять шаги по порядку:

1. Упростим выражение:
начнем с раскрытия скобок с помощью распределительного свойства:
(c-4)(3c+5) = 3c*c + 3c*5 - 4*3c - 4*5 = 3c^2 + 15c - 12c - 20 = 3c^2 + 3c - 20

(4-c)(c+2) = 4*c + 4*2 - c*c - c*2 = 4c + 8 - c^2 - 2c = -c^2 + 2c + 8

Теперь объединим два упрощенных выражения:
(3c^2 + 3c - 20) - (-c^2 + 2c + 8) = 3c^2 + 3c - 20 + c^2 - 2c - 8 = (3c^2 + c^2) + (3c - 2c) + (-20 - 8) = 4c^2 + c - 28

Итак, исходное уравнение принимает вид: 4c^2 + c - 28 = (c-___)(4c+___)

2. Теперь приступим к разложению многочлена на множители.
Мы ищем два числа, которые будут являться множителями константы в начале и конце многочлена 4c^2 + c - 28.

Мы знаем, что произведение двух этих чисел должно быть равно произведению коэффициента при старшей степени многочлена (в данном случае, 4) и свободного члена (в данном случае, -28). Также, их сумма должна быть равна коэффициенту при средней степени многочлена (в данном случае, 1).

Для данного многочлена, возможными множителями будут:

(c-4) и (4c+7), так как (-4)*(4) = -16 и -4 + 7 = 3, что удовлетворяет нашим условиям.

Таким образом, разложение данного многочлена на множители будет: (c-4)(4c+7) = 4c^2 + c - 28, где вместо пропусков вставлены числа -4 и 7.

Итак, ответ: (c-4)(4c+7) будут множителями для данного многочлена.