Какие два числа нужно сложить, чтобы получить наибольшее произведение?

Чтобы найти два числа, которые дают наибольшее произведение при сложении, давайте рассмотрим следующую ситуацию. Пусть у нас есть два числа: \(x\) и \(y\). Известно, что их сумма равна \(s\), т.е. \(x + y = s\). Наша задача состоит в том, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), которые максимизируют произведение \(P = x \cdot y\). Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки значения или методом дифференцирования.

Метод подстановки значений:
1. Выражаем одну из переменных через другую из уравнения \(x + y = s\). Например, можно выразить \(x\) через \(y\): \(x = s - y\).
2. Подставляем это значение \(x\) в формулу для произведения \(P = x \cdot y\): \(P = (s - y) \cdot y\).
3. Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение: \(P = s \cdot y - y^2\).
4. Дифференцируем формулу по переменной \(y\), приравниваем производную к нулю и находим точку экстремума: \(\frac{dP}{dy} = s - 2y = 0\). Отсюда получаем, что \(y = \frac{s}{2}\).
5. Подставляем найденное значение \(y\) в уравнение \(x = s - y\) и находим значение \(x\): \(x = s - \frac{s}{2} = \frac{s}{2}\).

Таким образом, чтобы получить наибольшее произведение, необходимо сложить два числа равных половине суммы: \(x = y = \frac{s}{2}\).

Представим ситуацию, когда сумма \(s\) состоит только из положительных чисел (так как мы рассматриваем только положительные числа). При предположении, что \(s > 0\), \(x > 0\) и \(y > 0\), произведение будет максимальным, когда значения \(x\) и \(y\) будут наиболее близкими друг к другу. Если одно число будет значительно больше другого, то их произведение будет меньше, чем произведение, когда они равны. Таким образом, максимальное произведение достигается, когда \(x = y = \frac{s}{2}\).