Исследуйте ограниченность функции y=x+4:x при условии

Чтобы исследовать ограниченность функции \(y = \frac{{x+4}}{{x}}\), нам нужно рассмотреть её график и определить, существуют ли какие-либо ограничения на значения \(y\) при изменении значения \(x\).

Давайте начнем с анализа доменной области функции, то есть значения \(x\), для которых функция определена. В данном случае, функция определена для всех значений \(x\), кроме \(x = 0\), так как в знаменателе появляется ноль и деление на ноль невозможно. Поэтому домен функции можно записать как \(x \neq 0\).

Теперь рассмотрим график функции. Для начала, давайте найдем асимптоты функции вида \(y = kx + b\), где \(k\) и \(b\) - константы.

Для вертикальной асимптоты, мы ищем значения \(x\), при которых функция стремится к бесконечности. В данном случае, как только \(x\) стремится к положительной или отрицательной бесконечности, значение функции также будет стремиться к бесконечности. Это означает, что у нас есть вертикальные асимптоты в точках \(x = \infty\) и \(x = -\infty\).

Для горизонтальной асимптоты, мы ищем значение \(y\), при котором функция имеет горизонтальную линию. В данном случае, возьмем предел функции при \(x\) стремящемся к бесконечности. Применяя правило Лопиталя (применение которого мы можем объяснить, если нужно), мы получаем:

\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x+4}}{{x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1}}{{1}} + \lim_{{x \to \infty}} \frac{{4}}{{x}} = 1 + 0 = 1
\]

Таким образом, у нас есть горизонтальная асимптота \(y = 1\).

Теперь возьмем во внимание поведение функции вблизи особой точки \(x = 0\). Применим предел:

\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{x+4}}{{x}} = \frac{{0 + 4}}{{0}} \, \text{(деление на ноль)}
\]

Этот предел не существует, это говорит о том, что функция не имеет предела в точке \(x = 0\).

Итак, мы получаем следующие результаты:

1. Домен функции: \(x \neq 0\)
2. Вертикальные асимптоты: \(x = \infty\) и \(x = -\infty\)
3. Горизонтальная асимптота: \(y = 1\)
4. Функция не имеет предела в точке \(x = 0\)

На практике, это означает, что функция \(y = \frac{{x+4}}{{x}}\) не ограничена ни сверху, ни снизу. Её значения могут быть сколь угодно большими или маленькими в зависимости от значения \(x\). При \(x \to \infty\), функция стремится к горизонтальной асимптоте \(y = 1\).