Какие должны быть значения k и m, чтобы прямая как линия пересечения двух плоскостей x + 2y - 4z + 3 = 0 и 2x - y

Для того чтобы прямая, которая является линией пересечения двух плоскостей, лежала также в плоскости \(7x - y + kz\), необходимо, чтобы направляющий вектор этой прямой был коллинеарен вектору нормали этой плоскости.

Давайте найдем направляющий вектор линии пересечения прямых. Для этого найдем вектор нормали к обеим плоскостям:

1. Первая плоскость:
\[x + 2y - 4z + 3 = 0\]
Нормаль к ней: \((1, 2, -4)\)

2. Вторая плоскость:
\[2x - y + 3z + 1 = 0\]
Нормаль к ней: \((2, -1, 3)\)

Теперь найдем их векторное произведение, чтобы получить направляющий вектор линии пересечения прямых:
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & -4 \\
2 & -1 & 3
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(2 \cdot 3 - (-4) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-4) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2)
= 10\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + (-5)\mathbf{k}
= (10, 5, -5)
\]

Так как направляющий вектор линии пересечения имеет координаты \((10, 5, -5)\), а плоскость \(7x - y + kz\) имеет нормаль \((7, -1, k)\), то необходимо, чтобы эти векторы были коллинеарны.

Это означает, что соответствующие координаты должны быть пропорциональны друг другу. Таким образом, можно записать следующие отношения:
\[
\frac{10}{7} = \frac{5}{-1} = \frac{-5}{k}
\]

Из этих отношений мы можем найти значения \(k\) и \(m\):

1. Для \(k\): \(\frac{-5}{k} = \frac{10}{7} \Rightarrow k = \frac{-7}{2}\)

Итак, значение \(k = \frac{-7}{2}\) обеспечит необходимое условие для того, чтобы линия пересечения двух плоскостей лежала в данной плоскости.