Какие должны быть радиус и высота ямы цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью

Для решения этой задачи, нам нужно найти такие значения радиуса и высоты цилиндра, чтобы использовать наименьшее количество материала для облицовки дна и боковой поверхности.

Предположим, что радиус цилиндра будет равен \( r \), а высота цилиндра будет равна \( h \).

Теперь нам нужно установить связь между объемом цилиндра и его радиусом и высотой. Объем цилиндра \( V \) можно выразить с помощью формулы для объема цилиндра:

\[ V = \pi r^2 h \]

Исходя из условия, мы уже знаем, что объем ямы составляет 25 м\(^2\). То есть, у нас есть следующее уравнение:

\[ 25 = \pi r^2 h \]

Теперь нам нужно выразить площадь облицовки дна и боковой поверхности. Площадь дна цилиндра составляет:

\[ A_{\text{дна}} = \pi r^2 \]

А площадь боковой поверхности - это периметр основания умноженный на высоту:

\[ A_{\text{бок}} = 2\pi rh \]

Общая площадь облицовки будет являться суммой площади дна и боковой поверхности:

\[ A = A_{\text{дна}} + A_{\text{бок}} = \pi r^2 + 2\pi rh \]

Теперь у нас есть две формулы: уравнение объема цилиндра и формула для площади облицовки. Нам нужно найти такие значения \( r \) и \( h \), чтобы минимизировать площадь облицовки.

Чтобы найти такие значения, мы можем использовать метод переменных параметров или методом одного параметра.

Давайте использовать метод переменных параметров. Решение будет следующим:

1. Выразим \( h \) из уравнения объема цилиндра: \[ h = \frac{25}{\pi r^2} \]
2. Подставим выражение \( h \) в формулу для площади облицовки: \[ A = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{25}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{50}{r} \]
3. Найдем производную площади облицовки по \( r \) и прировняем ее к нулю: \[ \frac{dA}{dr} = 2\pi r - \frac{50}{r^2} = 0 \]
4. Решим полученное уравнение: \[ 2\pi r = \frac{50}{r^2} \]
\[ 2\pi r^3 = 50 \]
\[ r^3 = \frac{25}{\pi} \]
\[ r = \left(\frac{25}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \]
5. Подставим найденное значение \( r \) в выражение для \( h \) и вычислим его: \[ h = \frac{25}{\pi \left(\frac{25}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{25}{(25)^{\frac{2}{3}}} = \frac{25}{5^{\frac{2}{3}}} \]

Таким образом, чтобы использовать наименьшее количество материала для облицовки дна и боковой поверхности ямы цилиндрической формы с объемом 25м\(^2\), радиус должен быть равен \( \left(\frac{25}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \), а высота должна быть равна \( \frac{25}{5^{\frac{2}{3}}} \).