Какие длины имеют стороны параллелограмма, если его диагонали составляют 12 см и 20 см, а угол между ними равен

Чтобы определить длину сторон параллелограмма, у нас есть две важные информации: длины его диагоналей, которые равны 12 см и 20 см, и угол между ними, равный 60 градусам. Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

1. Начнем с построения параллелограмма. Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AC и BD - его диагонали, а угол BAD равен 60 градусам.

2. Теперь, выделите треугольник ABD внутри параллелограмма. Этот треугольник является равнобедренным, так как сторона AB равна стороне AD (это следует из свойств параллелограмма).

3. Поскольку треугольник ABD равнобедренный, у нас есть равенство углов: ∠ADB = ∠ABD. Поскольку угол ABD равен 60 градусам, ∠ADB также равно 60 градусам.

4. Теперь применим закон синусов к треугольнику ADB, чтобы найти длину стороны AB. Закон синусов утверждает, что для треугольника со сторонами a, b и c, исходящими из угла α, справедливо соотношение: \[\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\]

5. В треугольнике ADB сторона AB соответствует углу α, сторона DB - углу β, а сторона AD - углу γ. Мы знаем, что угол γ равен 60 градусам, а стороны AD и DB равны 12 см и 20 см соответственно.

6. Теперь, решим уравнение закона синусов для стороны AB: \[\frac{AB}{\sin(60^\circ)}=\frac{20}{\sin(\beta)}\]

7. Найдем значение синуса угла β. Используя свойства треугольника, мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам: β + γ + 60° = 180°. Тогда β = 180° - γ - 60° = 180° - 60° - 60° = 60°

8. Теперь, давайте определим синус 60 градусов и синус 120 градусов. Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций или калькулятором и увидим, что: \[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\] и \[\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

9. Заменив эти значения в уравнении закона синусов, получаем: \[\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

10. Упростив уравнение, получим: \[AB \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 20 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\]

11. Делим обе части уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), и получим: AB = 20 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot 1 = 20\]

Таким образом, длина стороны AB параллелограмма равна 20 см. Кроме того, по свойству параллелограмма, сторона AD также равна 20 см.

Мы рассмотрели решение задачи шаг за шагом, обосновали каждое действие и пояснили употребление закона синусов. Я надеюсь, что этот разбор помог вам разобраться с задачей! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.