Какие числа были записаны на доске, если после сложения всех возможных пар из четырех чисел мы получили суммы: 2

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать метод поиска всех возможных комбинаций пар чисел и проверить, какие из этих комбинаций дают заданные суммы.

Давайте обозначим четыре числа, которые были записаны на доске, как \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\). Мы также знаем, что сумма всех возможных пар этих чисел равны 2, 4, 9 и 9.

Для начала, найдем все возможные комбинации пар чисел из четырех чисел. Мы можем представить это в виде таблицы:

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Пара} & \text{Cумма} \\
ab & \text{?} \\
ac & \text{?} \\
ad & \text{?} \\
bc & \text{?} \\
bd & \text{?} \\
cd & \text{?} \\
\end{array}
\]

Мы видим, что у нас есть шесть комбинаций пар чисел. Теперь давайте заполним таблицу, подставив значения искомых сумм:

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Пара} & \text{Cумма} \\
ab & 2 \\
ac & 4 \\
ad & 9 \\
bc & 9 \\
bd & \text{?} \\
cd & \text{?} \\
\end{array}
\]

Мы уже знаем значения для пар \(ab\), \(ac\) и \(ad\). Теперь давайте посмотрим на пару \(bc\). Мы знаем, что сумма этих чисел равна 9. Значит, \(b + c = 9\). Также мы знаем, что \(a + b = 2\) и \(a + c = 4\). Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значения \(a\), \(b\) и \(c\):

\[
\begin{align*}
a + b &= 2 \\
a + c &= 4 \\
b + c &= 9 \\
\end{align*}
\]

Вычтем первое уравнение из второго уравнения:

\[
(a + c) - (a + b) = 4 - 2 \\
c - b = 2
\]

Теперь вычтем второе уравнение из третьего уравнения:

\[
(b + c) - (a + c) = 9 - 4 \\
b - a = 5
\]

У нас есть система уравнений, состоящая из \(c - b = 2\) и \(b - a = 5\). К этой системе можно применить метод решения методом подстановки или сложения/вычитания. Необходимо решить эту систему и найти значения \(a\), \(b\) и \(c\).

Анализируя эти два уравнения, мы видим, что \(c = b + 2\) и \(a = b - 5\).

Теперь давайте найдем значения \(a\), \(b\) и \(c\) с использованием полученных уравнений:

\[
\begin{align*}
c &= b + 2 \\
a &= b - 5 \\
\end{align*}
\]

Подставим значения \(c\) и \(a\) в уравнение \(b + c = 9\):

\[
b + (b + 2) = 9
\]

Упростим это уравнение:

\[
2b + 2 = 9
\]

Вычтем 2 из обеих сторон:

\[
2b = 7
\]

Поделим обе стороны на 2:

\[
b = 3.5
\]

Теперь подставим значение \(b\) в уравнения \(c = b + 2\) и \(a = b - 5\):

\[
\begin{align*}
c &= 3.5 + 2 \\
c &= 5.5 \\
a &= 3.5 - 5 \\
a &= -1.5 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы определили значения чисел \(a\), \(b\) и \(c\). Теперь, чтобы найти значение числа \(d\), мы можем использовать одно из уравнений из таблицы:

\(ad = 9\) или \(bd = ?\) или \(cd = ?\)

Подставим значения, которые мы уже знаем:

\(d * (-1.5) = 9\)

Выразим \(d\):

\(d = \frac{9}{-1.5} = -6\)

Таким образом, числа на доске были: \(a = -1.5\), \(b = 3.5\), \(c = 5.5\) и \(d = -6\).