Какая является наименьшей длина боковой стороны прямоугольника трапеции с основаниями 36 см и 42 см, если один из углов

Для начала, давайте разберемся, что такое трапеция. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, но не равны друг другу. В данном случае, наша трапеция имеет основания длиной 36 см и 42 см.

Мы знаем, что у нас есть прямоугольник внутри трапеции. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам. Поэтому, одно из углов прямоугольника также будет являться одним из углов трапеции.

Так как мы хотим найти наименьшую длину боковой стороны этого прямоугольника, нам нужно знать, что стороны прямоугольника параллельны сторонам трапеции. При этом, сторона трапеции, которая пересекает прямоугольник, получается наименьшей длины.

Чтобы найти эту сторону трапеции, мы можем воспользоваться свойством трапеции, которое гласит, что сумма длин оснований трапеции равна произведению высоты на среднюю линию.

Высота трапеции - это расстояние между параллельными основаниями, которое мы не знаем.
Средняя линия - это отрезок, соединяющий середины двух оснований трапеции. Очевидно, что средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна полусумме длин этих оснований.

Таким образом, мы имеем следующее уравнение:

\[36 + 42 = h \cdot \frac{36 + 42}{2}\]

Давайте решим его:

\[\frac{78}{2} = 36h + 42h\]
\[39 = 78h\]
\[h = \frac{39}{78}\]
\[h = \frac{1}{2}\]

Таким образом, мы нашли высоту трапеции, она равна \( \frac{1}{2} \) см.

Теперь мы можем найти наименьшую длину боковой стороны прямоугольника, используя теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в прямоугольном треугольнике. В нашем случае, катеты равны половине длины оснований трапеции, а гипотенуза - это искомая боковая сторона прямоугольника.

Таким образом, мы имеем следующее уравнение:

\[(\frac{36-42}{2})^2 + h^2 = L^2\]
\[(\frac{-6}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = L^2\]
\[(-3)^2 + \frac{1}{4} = L^2\]
\[9 + \frac{1}{4} = L^2\]
\[ \frac{37}{4} = L^2\]
\[L = \sqrt{ \frac{37}{4} }\]

Округлим результат до ближайшего целого числа: \[L \approx \sqrt{9.25} \approx 3\]

Таким образом, наименьшая длина боковой стороны прямоугольника в этой трапеции составляет примерно 3 см. Ответ: 3 см.