Какая температура наблюдается, при которой плотности вероятности обнаружения молекул кислорода и воды, движущихся

Для решения этой задачи нам понадобится знание о распределении Больцмана и формуле для расчета средней квадратичной скорости молекул. Давайте начнем с того, что посмотрим на формулу Больцмана для распределения вероятности молекул:

\[P = N \cdot \exp\left(\frac{-E}{kT}\right)\]

где \(P\) - плотность вероятности обнаружения молекул, \(N\) - некоторая константа, \(E\) - энергия молекулы (в данном случае, энергия связи), \(k\) - постоянная Больцмана, \(T\) - температура.

Мы можем сравнить плотности вероятности молекул кислорода и воды, движущихся со скоростью 600 м/с при одинаковой температуре. Предположим, что плотности вероятности молекул кислорода и воды одинаковы и обозначим их как \(P_{\text{кислород}}\) и \(P_{\text{вода}}\) соответственно.

Так как плотности вероятности одинаковы, то:

\[P_{\text{кислород}} = P_{\text{вода}}\]

На равные плотности вероятности влияют соответствующие значения энергии и постоянной Больцмана, а также температура. Очевидно, что энергия связи молекул кислорода и воды различна, однако скорости их движения одинаковы. Это значит, что значение температуры должно быть таким, чтобы разница в энергии связи молекул компенсировалась различием в постоянных Больцмана.

Итак, чтобы плотности вероятности молекул кислорода и воды, движущихся со скоростью 600 м/с, были одинаковыми, соответствующие значения температуры должны быть равными, так что:

\[\frac{E_{\text{кислород}}}{kT_{\text{кислород}}} = \frac{E_{\text{вода}}}{kT_{\text{вода}}}\]

где \(E_{\text{кислород}}\) и \(E_{\text{вода}}\) - энергии связи для молекул кислорода и воды соответственно, а \(T_{\text{кислород}}\) и \(T_{\text{вода}}\) - значения температуры.

Теперь мы можем использовать значения:

\(E_{\text{кислород}} = 14600 \, \text{К} \cdot \text{моль}\)
\(E_{\text{вода}} = 10600 \, \text{К} \cdot \text{моль}\)
\(k = 1,38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\)

Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{14600}{1,38 \times 10^{-23} \cdot T_{\text{кислород}}} = \frac{10600}{1,38 \times 10^{-23} \cdot T_{\text{вода}}}\]

Мы знаем, что скорость молекул составляет 600 м/с. Для нахождения температуры воспользуемся формулой для средней квадратичной скорости молекул:

\[v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}\]

где \(m\) - масса молекулы.

Массы кислорода и воды соответственно равны \(m_{\text{кислород}} = 32\) г/моль и \(m_{\text{вода}} = 18\) г/моль. Подставим значения масс и средней квадратичной скорости (600 м/с) в формулу для температуры и решим ее:

\[T_{\text{кислород}} = \frac{m_{\text{кислород}} \cdot v^2}{3k}\]
\[T_{\text{вода}} = \frac{m_{\text{вода}} \cdot v^2}{3k}\]

Возьмем значение для скорости \(v = 600\) м/с и подставим его в формулу:

\[T_{\text{кислород}} = \frac{32 \cdot (600)^2}{3 \cdot 1,38 \times 10^{-23}}\]
\[T_{\text{вода}} = \frac{18 \cdot (600)^2}{3 \cdot 1,38 \times 10^{-23}}\]

Выполним вычисления:

\[T_{\text{кислород}} \approx 2,56 \times 10^{26} \, \text{К}\]
\[T_{\text{вода}} \approx 1,46 \times 10^{26} \, \text{К}\]

Итак, чтобы плотности вероятности обнаружения молекул кислорода и воды, движущихся со скоростью 600 м/с, были одинаковыми, требуется, чтобы температура равнялась примерно \(2,56 \times 10^{26}\) К для молекул кислорода и \(1,46 \times 10^{26}\) К для молекул воды.