Какая сумма квадратов двух следующих целых чисел больше чем в два раза большее из них плюс

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть первое целое число, которое мы ищем, равно $x$. Тогда следующее за ним целое число будет $x+1$.

Мы хотим найти такие значения $x$ и $x+1$, чтобы сумма их квадратов была больше, чем два раза большее из них, плюс какое-то число $k$.

Используя математический язык, это можно записать следующим образом:

$$x^2+(x+1{)}^2>2x+k$$

Для начала, раскроем скобки в левой части неравенства:

$$x^2+(x^2+2x+1)>2x+k$$

Теперь соберем все члены с $x$ в одну часть, а все остальные числа в другую:

$$2x^2+2x+1>2x+k$$

Заметим, что $2x$ можно сократить с обеих сторон неравенства:

$$2x^2+1>k$$

Теперь нам нужно найти минимальное значение $k$, для которого выполняется данное неравенство.

Поскольку мы рассматриваем целые числа, то минимальное возможное значение для $k$ будет $k=2x^2+1$.

Теперь найдем минимальное возможное значение $x$ для данного $k$. Подставим $k$ в исходное неравенство:

$$x^2+(x+1{)}^2>2x+(2x^2+1)$$

Раскроем скобки:

$$x^2+x^2+2x+1>2x+2x^2+1$$

Упростим:

$$2x^2+2x+1>2x+2x^2+1$$

Теперь упростим и сократим одинаковые слагаемые:

$$2x>0$$

Получаем условие, что $x>0$.

Таким образом, минимальное возможное значение $x$ для данной задачи будет $x=1$.

Теперь найдем значение $k$ для $x=1$:

$$k=2\cdot 1^2+1=3$$

Итак, искомая сумма квадратов двух следующих целых чисел, которая больше, чем в два раза большее из них, плюс некоторое число $k$, будет:

$$1^2+(1+1{)}^2=1+4=5>2\cdot 1+3$$

Таким образом, получаем ответ на задачу: сумма квадратов двух следующих целых чисел, которая больше, чем в два раза большее из них, плюс 3, будет равна 5.