Какая сумма квадратов двух следующих целых чисел больше чем в два раза большее из них плюс

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть первое целое число, которое мы ищем, равно \(x\). Тогда следующее за ним целое число будет \(x+1\).

Мы хотим найти такие значения \(x\) и \(x+1\), чтобы сумма их квадратов была больше, чем два раза большее из них, плюс какое-то число \(k\).

Используя математический язык, это можно записать следующим образом:

\[x^2 + (x+1)^2 > 2x + k\]

Для начала, раскроем скобки в левой части неравенства:

\[x^2 + (x^2 + 2x + 1) > 2x + k\]

Теперь соберем все члены с \(x\) в одну часть, а все остальные числа в другую:

\[2x^2 + 2x + 1 > 2x + k\]

Заметим, что \(2x\) можно сократить с обеих сторон неравенства:

\[2x^2 + 1 > k\]

Теперь нам нужно найти минимальное значение \(k\), для которого выполняется данное неравенство.

Поскольку мы рассматриваем целые числа, то минимальное возможное значение для \(k\) будет \(k = 2x^2 + 1\).

Теперь найдем минимальное возможное значение \(x\) для данного \(k\). Подставим \(k\) в исходное неравенство:

\[x^2 + (x+1)^2 > 2x + (2x^2 + 1)\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + x^2 + 2x + 1 > 2x + 2x^2 + 1\]

Упростим:

\[2x^2 + 2x + 1 > 2x + 2x^2 + 1\]

Теперь упростим и сократим одинаковые слагаемые:

\[2x > 0\]

Получаем условие, что \(x > 0\).

Таким образом, минимальное возможное значение \(x\) для данной задачи будет \(x = 1\).

Теперь найдем значение \(k\) для \(x = 1\):

\[k = 2 \cdot 1^2 + 1 = 3\]

Итак, искомая сумма квадратов двух следующих целых чисел, которая больше, чем в два раза большее из них, плюс некоторое число \(k\), будет:

\[1^2 + (1+1)^2 = 1 + 4 = 5 > 2 \cdot 1 + 3\]

Таким образом, получаем ответ на задачу: сумма квадратов двух следующих целых чисел, которая больше, чем в два раза большее из них, плюс 3, будет равна 5.