Какая скорость моторной лодки, если она двигается против течения реки на 10 км, а по течению реки на 9 км, и время пути

Для решения этой задачи воспользуемся принципом относительности скоростей. Если обозначить скорость моторной лодки как \(v\) км/ч, то скорость течения реки будет \(2\) км/ч. При движении против течения скорость лодки относительно земли будет равна разности скорости лодки и скорости течения, то есть \(v - 2\) км/ч. Аналогично, при движении по течению скорость лодки относительно земли будет \(v + 2\) км/ч.

Дано, что лодка проходит расстояние против течения на 10 км, тогда время пути будет равно \(\frac{{10}}{{v - 2}}\) часов. А по течению лодка проходит расстояние 9 км и время пути составляет на 30 минут меньше, чем время пути против течения. Обозначим время пути по течению как \(t\). Тогда, время пути против течения будет равно \(t + \frac{{1}}{{2}}\) часов.

Из условия задачи получаем уравнение:

\(\frac{{10}}{{v - 2}} = t + \frac{{1}}{{2}}\)

Выразим время пути \(t\) через скорость \(v\):

\(t = \frac{{10}}{{v - 2}} - \frac{{1}}{{2}}\)

Теперь заметим, что по условию задачи время пути по течению должно быть на 30 минут меньше, чем время пути против течения. Поэтому, уравнение становится:

\(t = \frac{{10}}{{v - 2}} - \frac{{1}}{{2}} = \frac{{10}}{{v + 2}} = \frac{{1}}{{2}}\)

Теперь найдем значение \(v\), решив полученное уравнение:

\(\frac{{10}}{{v - 2}} - \frac{{1}}{{2}} = \frac{{10}}{{v + 2}}\)

Домножим оба выражения на \(2(v - 2)(v + 2)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(2(v + 2) - (v - 2) = 10(v - 2)\)

Раскрываем скобки и сокращаем подобные слагаемые:

\(2v + 4 - v + 2 = 10v - 20\)

\(v + 6 = 10v - 20\)

Переносим все слагаемые с \(v\) на одну сторону и получаем:

\(10v - v = 6 + 20\)

\(9v = 26\)

\(v = \frac{{26}}{{9}}\)

Таким образом, скорость моторной лодки равна \(\frac{{26}}{{9}}\) км/ч.