Чему равно выражение 9n в 8 степени m в 6 степени, если известно, что 3n в 4 степени m в 3 степени = -24?

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать свойства степеней и алгебраические операции. Дано, что \(3n^4m^3 = -24\). Мы хотим найти значение выражения \(9n^8m^6\).

Для начала, мы можем возвести \(3n^4m^3\) в куб и получить \((3n^4m^3)^3 = (-24)^3\). Далее, раскроем скобки и получим:

\[27n^{12}m^9 = -13824\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает степени \(n\) и \(m\) и значение. Мы можем использовать это уравнение, чтобы выразить одну из переменных через другую.

Будем выражать \(m\) через \(n\). Для этого возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{9}\):

\[(27n^{12}m^9)^{\frac{1}{9}} = (-13824)^{\frac{1}{9}}\]

Так как \((a^n)^m = a^{nm}\), мы можем записать:

\[27^{\frac{1}{9}} (n^{12})^{\frac{1}{9}} (m^9)^{\frac{1}{9}} = (-13824)^{\frac{1}{9}}\]

Упростим выражения:

\[3n^{\frac{4}{3}}m = -24^{\frac{1}{9}}\]

Мы получили выражение для \(m\) через \(n\):

\[m = -\frac{{24^{\frac{1}{9}}}}{{3n^{\frac{4}{3}}}}\]

Теперь, подставим полученное выражение для \(m\) в исходное выражение \(9n^8m^6\):

\[9n^8 \left( -\frac{{24^{\frac{1}{9}}}}{{3n^{\frac{4}{3}}}} \right)^6\]

Мы можем использовать свойства степеней и упростить это выражение:

\[9n^8 \cdot \left( \frac{{24^{\frac{2}{3}}}}{{3^6n^{\frac{8}{3}}}} \right)\]

Упростим дальше:

\[\frac{{9 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}}{{3^6n^{\frac{8}{3}}}} \cdot n^8\]

В итоге, получим:

\[\frac{{9 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}}{{3^6}} \cdot n^{8-\frac{8}{3}}\]

Для дальнейшего упрощения, заметим, что \(24 = 2^3 \cdot 3\):

\[\frac{{9 \cdot (2^3 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}}}{{3^6}} \cdot n^{\frac{16}{3} - \frac{8}{3}}\]

Теперь, упростим выражение в скобках:

\[\frac{{9 \cdot 2^2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}}{{3^6}} \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Мы можем упростить это выражение дальше:

\[\frac{{9 \cdot 4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}}{{3^6}} \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Упрощаем числитель:

\[\frac{{36 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}}{{3^6}} \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Делаем упрощение знаменателя:

\[\frac{{36 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}}{{3^2}} \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Используем свойства степеней для упрощения знаменателя:

\[\frac{{36 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}}{{3^2}} \cdot n^{\frac{8}{3}} = 36 \cdot 3^{\frac{2}{3} - 2} \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Упростим выражение в скобках:

\[36 \cdot 3^{-\frac{4}{3}} \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Преобразуем отрицательную степень 3:

\[36 \cdot \frac{1}{{3^{\frac{4}{3}}}} \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Упростим \(\frac{1}{{3^{\frac{4}{3}}}}\):

\[36 \cdot \left( \frac{1}{{3^{\frac{1}{3}}}} \right)^4 \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Так как \(\frac{1}{{3^{\frac{1}{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\), получаем:

\[36 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right)^4 \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Для окончательного ответа:

\[36 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{27}} \cdot n^{\frac{8}{3}}\]

Мы получаем, что выражение \(9n^8m^6\) равно \(36 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{27}} \cdot n^{\frac{8}{3}}\).

Я постарался дать самое подробное и обстоятельное решение этой задачи, чтобы тебе стало понятно, как мы пришли к ответу. Если у тебя возникли еще какие-то вопросы, буду рад помочь!