Какая разница между 5-м слагаемым в выражении степени бинома (2m+1)^6 и 3-м слагаемым в выражении степени бинома

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Первым шагом нам нужно найти оба выражения степени бинома.

Выражение степени бинома (2m+1)^6 можно раскрыть, используя формулу Бинома Ньютона:

\((a + b)^n = C(n, 0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n, 1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n, 2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + ... + C(n, n-1) \cdot a \cdot b^{n-1} + C(n, n) \cdot a^0 \cdot b^n\),

где \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - биномиальный коэффициент.

В нашем первом выражении \(n = 6\) и \(a = 2m\) и \(b=1\), поэтому:

\((2m+1)^6 = C(6,0) \cdot (2m)^6 \cdot 1^0 + C(6,1) \cdot (2m)^5 \cdot 1^1 + C(6,2) \cdot (2m)^4 \cdot 1^2 + C(6,3) \cdot (2m)^3 \cdot 1^3 + C(6,4) \cdot (2m)^2 \cdot 1^4 + C(6,5) \cdot (2m)^1 \cdot 1^5 + C(6,6) \cdot (2m)^0 \cdot 1^6\).

Теперь давайте посмотрим на выражение степени бинома (m+2)^4. Аналогично, раскроем это выражение:

\((m+2)^4 = C(4,0) \cdot m^4 \cdot 2^0 + C(4,1) \cdot m^3 \cdot 2^1 + C(4,2) \cdot m^2 \cdot 2^2 + C(4,3) \cdot m^1 \cdot 2^3 + C(4,4) \cdot m^0 \cdot 2^4\).

Теперь рассмотрим разницу между 5-м слагаемым в первом выражении и 3-м слагаемым во втором выражении.

В первом выражении пятый слагаемый будет иметь вид \(C(6,4) \cdot (2m)^2 \cdot 1^4\), а во втором выражении третий слагаемый выглядит как \(C(4,2) \cdot m^2 \cdot 2^2\).

Давайте вычислим значения обоих слагаемых:

\(C(6,4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\),

\(C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\).

Теперь подставим значения в исходные выражения:

\(C(6,4) \cdot (2m)^2 \cdot 1^4 = 15 \cdot (2m)^2 \cdot 1^4 = 15 \cdot 4m^2 = 60m^2\),

\(C(4,2) \cdot m^2 \cdot 2^2 = 6 \cdot m^2 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4m^2 = 24m^2\).

Итак, разница между 5-м слагаемым в выражении степени бинома \((2m+1)^6\) и 3-м слагаемым в выражении степени бинома \((m+2)^4\) равна \(60m^2 - 24m^2 = 36m^2\).