Какая разница между 5-м слагаемым в выражении степени бинома (2m+1)^6 и 3-м слагаемым в выражении степени бинома

Ноя 30, 2023

Какая разница между 5-м слагаемым в выражении степени бинома (2m+1)^6 и 3-м слагаемым в выражении степени бинома (m+2)^4?

Жираф_411

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Первым шагом нам нужно найти оба выражения степени бинома.

Выражение степени бинома (2m+1)^6 можно раскрыть, используя формулу Бинома Ньютона:

(a + b)^{n} = C (n, 0) \cdot a^{n} \cdot b^{0} + C (n, 1) \cdot a^{n - 1} \cdot b^{1} + C (n, 2) \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + . . . + C (n, n - 1) \cdot a \cdot b^{n - 1} + C (n, n) \cdot a^{0} \cdot b^{n}

,

где

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

- биномиальный коэффициент.

В нашем первом выражении

n = 6

a = 2 m

b = 1

, поэтому:

(2 m + 1)^{6} = C (6, 0) \cdot (2 m)^{6} \cdot 1^{0} + C (6, 1) \cdot (2 m)^{5} \cdot 1^{1} + C (6, 2) \cdot (2 m)^{4} \cdot 1^{2} + C (6, 3) \cdot (2 m)^{3} \cdot 1^{3} + C (6, 4) \cdot (2 m)^{2} \cdot 1^{4} + C (6, 5) \cdot (2 m)^{1} \cdot 1^{5} + C (6, 6) \cdot (2 m)^{0} \cdot 1^{6}

.

Теперь давайте посмотрим на выражение степени бинома (m+2)^4. Аналогично, раскроем это выражение:

(m + 2)^{4} = C (4, 0) \cdot m^{4} \cdot 2^{0} + C (4, 1) \cdot m^{3} \cdot 2^{1} + C (4, 2) \cdot m^{2} \cdot 2^{2} + C (4, 3) \cdot m^{1} \cdot 2^{3} + C (4, 4) \cdot m^{0} \cdot 2^{4}

.

Теперь рассмотрим разницу между 5-м слагаемым в первом выражении и 3-м слагаемым во втором выражении.

В первом выражении пятый слагаемый будет иметь вид

C (6, 4) \cdot (2 m)^{2} \cdot 1^{4}

, а во втором выражении третий слагаемый выглядит как

C (4, 2) \cdot m^{2} \cdot 2^{2}

.

Давайте вычислим значения обоих слагаемых:

C (6, 4) = \frac{6!}{4! (6 - 4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

C (4, 2) = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6

.

Теперь подставим значения в исходные выражения:

C (6, 4) \cdot (2 m)^{2} \cdot 1^{4} = 15 \cdot (2 m)^{2} \cdot 1^{4} = 15 \cdot 4 m^{2} = 60 m^{2}

C (4, 2) \cdot m^{2} \cdot 2^{2} = 6 \cdot m^{2} \cdot 2^{2} = 6 \cdot 4 m^{2} = 24 m^{2}

.

Итак, разница между 5-м слагаемым в выражении степени бинома

(2 m + 1)^{6}

и 3-м слагаемым в выражении степени бинома

(m + 2)^{4}

равна

60 m^{2} - 24 m^{2} = 36 m^{2}

Знаешь ответ?

Физика

В течение какого временного промежутка тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v0=32...

Сен 27, 2024

Физика

Какое ускорение набирают сани, когда человек тянет их за веревку с силой 100 Н под углом...

Дек 19, 2024

Какая разница между 5-м слагаемым в выражении степени бинома (2m+1)^6 и 3-м слагаемым в выражении степени бинома

Жираф_411

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!