Какая прямая проходит через центр окружности и точку А(-4;1), которая задана уравнением (х+2)^2+(у-5)^2 =40?

Для того чтобы найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности и заданную точку А, мы должны учесть, что прямая должна быть перпендикулярной радиусу окружности, проведенному из центра к точке А. Также, уравнение прямой может быть представлено в виде \( y = kx + b \), где \( k \) - угловой коэффициент, а \( b \) - свободный член.

1. Найдем координаты центра окружности. Из данного уравнения окружности \((х+2)^2+(у-5)^2 = 40\) можно определить, что центр окружности находится в точке \((-2, 5)\).

2. Теперь найдем угловой коэффициент радиуса, проведенного из центра окружности к точке А. Радиус окружности всегда перпендикулярен касательной, проведенной в заданной точке. Таким образом, радиус будет перпендикулярен искомой прямой. Угловой коэффициент радиуса можно найти по формуле \( k = -\frac{1}{{k_r}} \), где \( k_r \) - угловой коэффициент радиуса.

3. Найдем уравнение радиуса, используя координаты центра окружности и точку А. Формула уравнения прямой будет иметь вид \( y - y_1 = k_r(x - x_1) \), где \( (x_1, y_1) \) - координаты центра окружности.

4. Подставим координаты центра окружности и точку А в уравнение радиуса, чтобы найти \( k_r \).

\[ y - 1 = k_r(x + 4) \]

5. Теперь найдем угловой коэффициент искомой прямой, используя найденный \( k_r \).

Угловой коэффициент искомой прямой будет равен обратному числу \( k_r \), то есть \( k = -\frac{1}{k_r} \).

6. Вставим найденные значения \( k \) и координаты точки А в уравнение прямой \( y = kx + b \), чтобы найти свободный член \( b \).

7. Таким образом, уравнение искомой прямой будет иметь вид \( y = kx + b \), где \( k \) и \( b \) будут найденыными значениями.

Давайте приступим к решению:

1. Найдем координаты центра окружности:

Из данного уравнения окружности \((х+2)^2+(у-5)^2 = 40\) можно определить, что центр окружности находится в точке \((-2, 5)\).

2. Найдем угловой коэффициент радиуса:

Радиус проведенный из центра окружности к точке А может быть найден по формуле \( k_r = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} \), где \( (x_1, y_1) \) - координаты центра окружности, а \( (x_2, y_2) \) - координаты точки А.

Подставим значения: \( (x_1, y_1) = (-2, 5) \) и \( (x_2, y_2) = (-4, 1) \).

\[ k_r = \frac{{1 - 5}}{{-4 - (-2)}} = \frac{{-4}}{{-2}} = 2 \]

3. Найдем уравнение радиуса:

Используя координаты центра окружности и точку А, можно записать уравнение радиуса:

\[ y - 1 = 2(x + 4) \]

4. Найдем угловой коэффициент искомой прямой:

Угловой коэффициент искомой прямой будет равен обратному числу углового коэффициента радиуса: \( k = -\frac{1}{k_r} = -\frac{1}{2} \)

5. Найдем свободный член \( b \):

Подставим найденные значения \( k \) и координаты точки А в уравнение прямой \( y = kx + b \):

\( 1 = -\frac{1}{2} \cdot (-4) + b \)

\( 1 = 2 + b \)

\( b = -1 \)

6. Таким образом, искомая прямая проходит через центр окружности \((-2, 5)\) и точку А \((-4, 1)\) и имеет уравнение \(y = -\frac{1}{2}x - 1\).