Какая область значений имеет функция y=lg(x^2-8x)?

Чтобы определить область значений функции \(y = \log(x^2 - 8x)\), нам нужно рассмотреть, какие значения может принимать выражение \(x^2 - 8x\), и затем определить, какие значения могут быть подставлены в логарифм.

Выражение \(x^2 - 8x\) представляет собой квадратное уравнение без смещения вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = 0\).

У нас есть несколько способов определить значения, при которых квадратное уравнение равно нулю:

1) Факторизация: Путем факторизации \(x^2 - 8x = 0\) получим \(x(x - 8) = 0\). Значит, \(x = 0\) или \(x = 8\).

2) Использование квадратного корня: Если \(x^2 - 8x = 0\), то можно взять корень от обеих сторон и получить \(\sqrt{x^2 - 8x} = 0\). Это дает \(x = 0\) или \(x = 8\).

Таким образом, квадратное уравнение \(x^2 - 8x\) равно нулю при \(x = 0\) и \(x = 8\). Теперь мы можем определить область значений функции \(y = \log(x^2 - 8x)\).

Определение логарифма: Логарифмическая функция \(\log(x)\) определена только для положительного входного значения. То есть, если \(x > 0\), то \(\log(x)\) будет иметь значение.

Теперь мы можем рассмотреть значения \(x^2 - 8x\) для каждого из этих случаев:

1) Когда \(x < 0\): В этом случае \(x^2 - 8x\) будет положительным, так как произведение двух отрицательных чисел дает положительный результат. Следовательно, \(\log(x^2 - 8x)\) определен для всех \(x < 0\).

2) Когда \(0 < x < 8\): В этом случае \(x^2 - 8x\) будет положительным, так как произведение отрицательного и положительного чисел дает отрицательный результат, а затем знак меняется. Следовательно, \(\log(x^2 - 8x)\) определен для всех \(0 < x < 8\).

3) Когда \(x > 8\): В этом случае \(x^2 - 8x\) будет отрицательным, так как произведение двух положительных чисел дает положительный результат. Но логарифмическая функция не определена для отрицательных значений. Поэтому, \(\log(x^2 - 8x)\) не определен для \(x > 8\).

Таким образом, область значений функции \(y = \log(x^2 - 8x)\) состоит из всех действительных чисел, где \(x \leq 0\) или \(0 < x < 8\).

Формально можно записать область значений следующим образом:
\[
\{y \mid y \in \mathbb{R}, (x \leq 0) \lor (0 < x < 8)\}
\]