Какова сумма всех цифр числа 1 + 11 + 101 + 1001 + 10001 + . . . + 10 . . . 01, где последнее число содержит 20 нулей?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала проанализируем данную последовательность чисел. Заметим, что каждое следующее число получается путем добавления "1" в начало предыдущего числа, а затем дописывания нулей.

Давайте представим числа данной последовательности в виде:

\( S = 1 + 11 + 101 + 1001 + 10001 + ... + 10...01 \)

Теперь давайте рассмотрим каждое число отдельно и попытаемся найти закономерность.

Первое число в последовательности - это 1.

Второе число - это 11. Мы получаем его, просто дописывая "1" в начало первого числа.

Третье число - это 101. Аналогично, мы добавляем "1" в начало второго числа.

Четвертое число - 1001.

Пятое число - 10001.

Мы видим, что в каждом числе мы добавляем один "1" в начало числа и при этом добавляем один ноль после него. Таким образом, можно сделать вывод, что \( n \)-е число в последовательности будет иметь \( n \) единиц в начале и \( n-1 \) нулей после.

Теперь, чтобы выразить \( n \)-е число в общем виде, мы можем воспользоваться понятием степеней числа 10. Обозначим количество нулей как \( k = n-1 \). Тогда можно записать:

\[
n-\text{е число} = 1 \times 10^{k+1} + 1
\]

Следовательно, сумма всех чисел в данной последовательности можно записать следующим образом:

\[
S = 1 + (1 \times 10^2 + 1) + (1 \times 10^3 + 1) + \ldots + (1 \times 10^{20} + 1)
\]

Нам нужно найти сумму всех цифр в числах последовательности. Давайте разделим задачу на две части: сначала найдем сумму цифр в каждом числе, а затем просуммируем все эти суммы.

1. Найдем сумму цифр в каждом числе.

Первое число - это 1, у него всего одна цифра, сумма цифр равна 1.

Второе число - 11, имеет две цифры, сумма цифр равна 1 + 1 = 2.

Третье число - 101, имеет три цифры, сумма цифр равна 1 + 0 + 1 = 2.

Четвертое число - 1001, имеет четыре цифры, сумма цифр равна 1 + 0 + 0 + 1 = 2.

Мы видим, что в каждом числе, начиная с третьего, сумма цифр равна 2. В первом и втором числах сумма равна количеству цифр. Поэтому появляется закономерность: если номер числа \( n \) больше 2, то сумма его цифр равна 2.

2. Просуммируем все суммы цифр чисел.

Первое число имеет только одну цифру, поэтому его сумму цифр можно записать так: \( 1 \times 1 = 1 \).

Второе число имеет две цифры, сумма цифр равна 2.

Sумма всех последующих чисел, начиная с третьего, равна 2.

Теперь, чтобы получить сумму всех чисел, мы можем провести сокращение:

\[
S = 1 + 2 + 2 + \ldots + 2 = 1 + 2 \times (n - 2)
\]

где \( n \) - количество чисел в последовательности. В нашем случае, \( n = 20 \), так как последнее число содержит 20 нулей.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[
S = 1 + 2 \times (20 - 2) = 1 + 2 \times 18 = 37
\]

Таким образом, сумма всех цифр в данной последовательности равна 37.