Какая функция имеет первообразную у=x и проходит через точку Р(3;5)? a) Какая функция имеет первообразную x2

a) Чтобы найти функцию, которая имеет первообразную \(x\) и проходит через точку \(P(3;5)\), мы должны использовать формулу интеграла Фруллани:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx + C
\]

где \(F(x)\) - искомая функция, \(f(x)\) - функция, у которой нам нужно найти первообразную, \(C\) - постоянная.

В этом случае, \(f(x) = x\), поэтому нам нужно найти интеграл от \(x\) и добавить постоянную \(C\).

\[
\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C
\]

Теперь мы можем использовать точку \(P(3;5)\), чтобы найти постоянную \(C\). Подставим значения \(x = 3\) и \(y = 5\) в уравнение \(F(x)\):

\[
\frac{1}{2}(3)^2 + C = 5
\]

\[
\frac{1}{2} \cdot 9 + C = 5
\]

\[
\frac{9}{2} + C = 5
\]

Теперь найдем \(C\):

\[
C = 5 - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}
\]

Итак, функция, которая имеет первообразную \(x\) и проходит через точку \(P(3;5)\), равна:

\[
F(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}
\]

b) Теперь нам нужно найти функцию, которая имеет первообразную \(x^2 + 4\) и проходит через точку \(P(3;5)\).

Аналогично предыдущей задаче, используем формулу интеграла Фруллани:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx + C
\]

где \(f(x) = x^2 + 4\). Вычислим интеграл от \(x^2 + 4\):

\[
\int (x^2 + 4) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + 4x + C
\]

Теперь подставим точку \(P(3;5)\), чтобы найти постоянную \(C\):

\[
\frac{1}{3}(3)^3 + 4(3) + C = 5
\]

\[
\frac{1}{3} \cdot 27 + 12 + C = 5
\]

\[
9 + 12 + C = 5
\]

\[
C = 5 - 9 - 12 = -16
\]

Итак, функция, которая имеет первообразную \(x^2 + 4\) и проходит через точку \(P(3;5)\), равна:

\[
F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x - 16
\]

c) Аналогично предыдущим задачам, используем формулу интеграла Фруллани:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx + C
\]

где \(f(x) = 4x^2 - 4\). Найдем интеграл от \(4x^2 - 4\):

\[
\int (4x^2 - 4) \, dx = \frac{4}{3}x^3 - 4x + C
\]

Теперь подставим точку \(P(3;5)\), чтобы найти постоянную \(C\):

\[
\frac{4}{3}(3)^3 - 4(3) + C = 5
\]

\[
\frac{4}{3} \cdot 27 - 12 + C = 5
\]

\[
36 - 12 + C = 5
\]

\[
C = 5 - 36 + 12 = -19
\]

Итак, функция, которая имеет первообразную \(4x^2 - 4\) и проходит через точку \(P(3;5)\), равна:

\[
F(x) = \frac{4}{3}x^3 - 4x - 19
\]

d) Аналогично предыдущим задачам, используем формулу интеграла Фруллани:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx + C
\]

где \(f(x) = x^2 - 4\). Найдем интеграл от \(x^2 - 4\):

\[
\int (x^2 - 4) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - 4x + C
\]

Теперь подставим точку \(P(3;5)\), чтобы найти постоянную \(C\):

\[
\frac{1}{3}(3)^3 - 4(3) + C = 5
\]

\[
\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 + C = 5
\]

\[
9 - 12 + C = 5
\]

\[
C = 5 - 9 + 12 = 8
\]

Итак, функция, которая имеет первообразную \(x^2 - 4\) и проходит через точку \(P(3;5)\), равна:

\[
F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 8
\]

Теперь перейдем к следующей задаче:

a) Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 6x^2\) и \(y = 0\), а также вертикальными линиями \(x = 1\) и \(x = 2\), мы должны найти интеграл от \(6x^2\) в пределах от \(x = 1\) до \(x = 2\):

\[
\int_1^2 6x^2 \, dx
\]

Вычислим этот интеграл:

\[
\int_1^2 6x^2 \, dx = 2x^3 \Big|_1^2 = 2(2)^3 - 2(1)^3 = 16 - 2 = 14
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 6x^2\) и \(y = 0\), а также вертикальными линиями \(x = 1\) и \(x = 2\), равна 14.

b) В предыдущей задаче мы уже вычислили площадь фигуры и она составила 14.