Какая формула может использоваться для нахождения n-го члена последовательности, начиная с первых четырех членов

Для нахождения формулы для n-го члена данной последовательности, нам понадобятся некоторые наблюдения и методы анализа. Посмотрим на разности между членами последовательности:

\[
\begin{align*}
4 - 1 &= 3 \\
9 - 4 &= 5 \\
16 - 9 &= 7 \\
\end{align*}
\]

Заметим, что разности между членами увеличиваются на 2 с каждым новым членом. Это означает, что вторая разность константна и равна 2. Поскольку вторая разность постоянна, мы можем сделать вывод, что данная последовательность является квадратичной.

Теперь давайте найдем общую формулу для n-го члена квадратичной последовательности. Обозначим первый член последовательности как \(a_1\), а разность между соседними членами как \(d_1\). По нашему наблюдению, \(d_1 = 2\). Таким образом, у нас есть следующие данные:

\(a_1 = 1\) (первый член последовательности) \\
\(d_1 = 2\) (разность между соседними членами)

Formally, the general formula for the n-th term of a quadratic sequence can be expressed as:

\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d_1 + \frac{{(n-1) \cdot (n-2)}}{2} \cdot d_2
\]

где \(a_n\) - n-ый член последовательности, \(a_1\) - первый член последовательности, \(d_1\) - разность между соседними членами, а \(d_2\) - вторая разность.

Применяя наши значения к этой формуле, мы получим:

\[
\begin{align*}
a_n &= 1 + (n-1) \cdot 2 + \frac{{(n-1) \cdot (n-2)}}{2} \cdot 2 \\
&= 1 + 2n - 2 + (n^2 - 3n + 2) \\
&= n^2 - n + 1
\end{align*}
\]

Таким образом, формула для n-го члена данной последовательности будет \(a_n = n^2 - n + 1\).

Эта формула позволяет нам находить любой член данной последовательности, начиная с первых четырех членов.