Какая длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, если длина ее бокового ребра составляет 5

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой площади боковой поверхности пирамиды. В прямоугольной пирамиде, основание которой - правильный четырехугольник, площадь боковой поверхности можно вычислить по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности, \(P_{\text{осн}}\) - периметр основания, \(h\) - высота пирамиды.

Для начала найдем периметр основания. Поскольку основание пирамиды - правильный четырехугольник, то его можно разделить на 4 равных треугольника, каждый из которых имеет сторону равной длине \(a\).

Таким образом, периметр основания будет равен:
\[P_{\text{осн}} = 4a\]

Затем, нам известно, что длина бокового ребра пирамиды составляет 5 см. Обозначим эту длину как \(l\).

Так как пирамида - правильная пирамида, то высота пирамиды будет проходить через вершину и перпендикулярна ее основанию. Поэтому

\[h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Зная эти формулы, мы можем перейти к решению задачи. Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна 84 квадратным сантиметрам:

\[84 = 4a \cdot \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить для определения длины стороны основания пирамиды \(a\). Будем действовать поэтапно.

1. Возведем оба выражения уравнения в квадрат:

\[84^2 = (4a)^2 \cdot (l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2)\]

2. Раскроем скобки:

\[7056 = 16a^2 \cdot (l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2)\]

3. Упростим выражение внутри скобок:

\[7056 = 16a^2 \cdot \left(l^2 - \frac{a^2}{4}\right)\]

4. Распишем произведение скобок:

\[7056 = 16a^2l^2 - 4a^4\]

5. Перенесем все слагаемые влево:

\[4a^4 + 16a^2l^2 - 7056 = 0\]

6. Определим значение \(l\) - длины бокового ребра пирамиды:

\[l = 5\]

7. Подставим значение \(l\) в уравнение и решим его:

\[4a^4 + 16a^2 \cdot 5^2 - 7056 = 0\]

\[4a^4 + 400a^2 - 7056 = 0\]

8. Решим полученное уравнение. Применим замену переменной:

\[x = a^2\]

Получим:

\[4x^2 + 400x - 7056 = 0\]

9. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 400^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7056)\]

\[D = 160000 + 112896 = 272896\]

10. Найдем корни квадратного уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-400 + \sqrt{272896}}{8} \approx 8.84\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-400 - \sqrt{272896}}{8} \approx -50\]

11. Так как сторона \(a\) - положительная величина, отрицательное значение \(x_2\) не имеет смысла для нас.

12. Вычисляем значение \(a\) (сторона основания пирамиды):

\[a = \sqrt{x_1} = \sqrt{8.84} \approx 2.97\]

Ответ: Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды составляет примерно 2.97 см.