1) Какое количество корней имеет уравнение x^3 + 3x^2 - 9x - c = 0 при различных значениях параметра c? Ответ (при

1) Для решения данной задачи, давайте рассмотрим уравнение x^3 + 3x^2 - 9x - c = 0 и исследуем его корни в зависимости от значения параметра c.

Для начала, заметим, что данное уравнение является кубическим уравнением, то есть имеет степень 3.

а) Если у нас есть ровно один корень, то все остальные два корня сопряжены комплексно-сопряженными парами.

б) Если у уравнения два различных корня, то третий корень также будет присутствовать и совпадать с одним из двух.

в) Если у уравнения три различных корня, то каждый корень будет иметь уникальное значение.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

а) Уравнение имеет один корень, если c принадлежит некоторому интервалу (... ; ...) объединенному с интервалом (... ; ...). В этом случае все три корня будут комплексно-сопряженными.

б) Уравнение имеет два корня, если c равно некоторому значению (...), а также равно некоторому другому значению (...). В этом случае третий корень совпадает с одним из двух данных значений.

в) Уравнение имеет три различных корня, если c принадлежит некоторому интервалу (... ; ...).

2) Для определения горизонтальной асимптоты графика функции y = ϕ(x) = 3x^2 + \frac{1}{x^2} + 3, нужно определить, к чему стремится функция при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности.

Найдем предел функции при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности:

Предел функции y при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности:
\[\lim_{{x\rightarrow\pm\infty}}3x^2 + \frac{1}{x^2} + 3\]

Поскольку степенной член с наибольшей степенью в числителе является \(x^2\), а в знаменателе \(\frac{1}{x^2}\), то при стремлении x к плюс или минус бесконечности, дробь \(\frac{1}{x^2}\) будет стремиться к нулю.

Таким образом, предел функции y при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности, будет равен:
\[\lim_{{x\rightarrow\pm\infty}}3x^2 + 3\]

Так как \(x^2\) растет быстрее, чем константа 3, при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности, значение функции y также будет стремиться к плюс или минус бесконечности.

Итак, горизонтальная асимптота графика функции y = ϕ(x) отсутствует.

3) Для определения существования вертикальной асимптоты графика функции y = f(x) = x^2 + 1, необходимо проверить, существует ли такое значение x, при котором функция стремится к плюс или минус бесконечности.

Уравнение x^2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, так как нельзя найти значение x, при котором x^2 будет равно отрицательному числу.

Таким образом, у функции y = f(x) = x^2 + 1 нет вертикальных асимптот.

Данная информация позволит ученикам лучше понять, как исследовать уравнения и функции и определить количество корней и наличие асимптот.