Какая была скорость катера, если туристы проплыли 72 км по течению реки и обратно, затратив на весь путь 10 часов

Для решения данной задачи нам понадобится применить понятие относительной скорости. Давайте рассмотрим ее пошаговое решение.

1. Пусть \( V \) - скорость катера в стоячей воде (без течения), а \( V_r \) - скорость течения реки.

2. Для перехода от скорости в стоячей воде к скорости по течению реки мы применяем формулу относительной скорости:
\[ V_{\text{по течению}} = V + V_r \]

3. Аналогично, для перехода от скорости в стоячей воде к скорости против течения реки:
\[ V_{\text{против течения}} = V - V_r \]

4. Используя формулу расстояния \( s = v \cdot t \), где \( s \) - расстояние, \( v \) - скорость и \( t \) - время, мы можем записать уравнение для пройденного расстояния:
\[ 72 = (V + V_r) \cdot t_1 \]
\[ 72 = (V - V_r) \cdot t_2 \]

5. По условию задачи, общее время движения составляет 10 часов:
\[ t_1 + t_2 = 10 \]

6. Теперь давайте решим эту систему уравнений для определения скорости катера \( V \).

Можно заметить, что в уравнениях (4) и (5) значения расстояний одинаковы, но с разными скоростями. Поэтому мы можем исключить \( t_1 \) из уравнений, используя вместо него значение \( 10 - t_2 \):
\[ 72 = (V + V_r) \cdot t_1 \]
\[ 72 = (V - V_r) \cdot t_2 \]
\[ t_1 = 10 - t_2 \]

Теперь мы можем записать новое уравнение, заменив \( t_1 \) в уравнении (4):
\[ 72 = (V + V_r) \cdot (10 - t_2) \]

7. Раскроем скобки и сгруппируем однообразные слагаемые:
\[ 72 = 10V - Vt_2 + 10V_r - V_r t_2 \]

8. На данном этапе, мы можем использовать уравнение (5), чтобы выразить \( V_r t_2 \):
\[ V_r t_2 = (V - V_r) \cdot t_2 \]

9. Теперь, заменяем \( V_r t_2 \) в уравнении (7):
\[ 72 = 10V - Vt_2 + 10V_r - (V - V_r) \cdot t_2 \]

10. Раскрываем скобки и снова группируем однообразные слагаемые:
\[ 72 = 10V - Vt_2 + 10V_r - Vt_2 + V_r \cdot t_2 \]

11. Далее выносим общий множитель \( t_2 \) и упрощаем уравнение:
\[ 72 = 10V - 2Vt_2 + V_r \cdot t_2 \]

12. Теперь выражаем \( t_2 \) из уравнения (5) и подставляем в уравнение (11):
\[ t_2 = 10 - t_1 \]
\[ 72 = 10V - 2V(10 - t_1) + V_r \cdot (10 - t_1) \]

13. Продолжаем упрощать уравнение:
\[ 72 = 10V - 20V + 2Vt_1 + 10V_r - V_r t_1 \]
\[ 72 = - 10V - V_r t_1 + 2Vt_1 + 10V_r \]
\[ 72 = -10V + Vt_1 + 10V_r \]

14. Поменяем порядок слагаемых:
\[ 72 = Vt_1 - 10V + 10V_r \]

15. Для дальнейшего упрощения уравнения, заметим, что \( V = \cfrac{{V + V_r}}{2} + \cfrac{{V - V_r}}{2} \) и подставим \( V \) в уравнение (14):
\[ 72 = Vt_1 - 10\left(\cfrac{{V + V_r}}{2} + \cfrac{{V - V_r}}{2}\right) + 10V_r \]

16. Раскроем скобки:
\[ 72 = Vt_1 - 5V - 5V_r + 10V_r \]

17. Упростим:
\[ 72 = Vt_1 - 5V + 5V_r \]

18. По условию задачи, \( V_r = 3 \) км/ч, и мы можем подставить это значение в уравнение (17):
\[ 72 = Vt_1 - 5V + 5 \cdot 3 \]

19. Еще раз упростим:
\[ 72 = Vt_1 - 5V + 15 \]

20. Перенесем все слагаемые с \( V \) в одну часть уравнения:
\[ Vt_1 - 5V = 72 - 15 \]

21. Упростим:
\[ V(t_1 - 5) = 57 \]

22. Делим обе части уравнения на \( t_1 - 5 \):
\[ V = \cfrac{57}{t_1 - 5} \]

23. Наконец, подставляем значение \( t_1 \) из уравнения (5):
\[ V = \cfrac{57}{10 - t_2 - 5} \]

24. Упрощаем:
\[ V = \cfrac{57}{5 - t_2} \]

Таким образом, скорость катера \( V \) равна \( \cfrac{57}{5 - t_2} \) км/ч. Выражение для \( t_2 \) можно получить, решив систему уравнений (4) и (5) или подставив полученное значение в \( t_1 \):
\[ t_2 = 10 - t_1 \]

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, каким образом была определена скорость катера.