Какая будет изменена сила всемирного тяготения, если массу одного из тел уменьшить в 6 раз, а расстояние между ними

Чтобы рассчитать изменение силы всемирного тяготения при изменении массы и расстояния, нам понадобится использовать формулу закона всемирного тяготения. Формула для расчета силы тяготения между двумя телами имеет вид:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где:
- F обозначает силу тяготения,
- G - гравитационная постоянная, которая равна приблизительно \(6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\),
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел,
- r - расстояние между центрами масс тел.

Для решения данной задачи нам нужно найти, насколько изменится сила тяготения, если мы уменьшим массу одного из тел в 6 раз и сократим расстояние между ними в 2 раза.

Пусть \(F_1\) - исходная сила тяготения, \(F_2\) - измененная сила тяготения, \(m_{1_0}\) и \(m_{2_0}\) - исходные массы тел, \(m_1\) и \(m_2\) - измененные массы тел, \(r_0\) - исходное расстояние, \(r\) - измененное расстояние.

Исходная сила тяготения (\(F_1\)) вычисляется по формуле:

\[ F_1 = \frac{{G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0}}}{{r_0^2}} \]

Измененная сила тяготения (\(F_2\)) находится по формуле:

\[ F_2 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

Учитывая, что массу одного из тел (\(m_1\)) мы уменьшаем в 6 раз (\(m_1 = \frac{{m_{1_0}}}{6}\)), а расстояние между телами (\(r\)) сокращается в 2 раза (\(r = \frac{{r_0}}{2}\)), подставим эти значения в формулу для \(F_2\) и получим:

\[ F_2 = \frac{{G \cdot \left(\frac{{m_{1_0}}}{6}\right) \cdot m_{2_0}}}{{\left(\frac{{r_0}}{2}\right)^2}} \]

Раскрыть скобки в знаменателе и упростить выражение:

\[ F_2 = \frac{{G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0}}}{{36 \cdot \frac{{r_0^2}}{4}}} \]

\[ F_2 = \frac{{G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0}}}{{9 \cdot r_0^2}} \]

Мы получили выражение для измененной силы тяготения (\(F_2\)).

Чтобы найти изменение силы тяготения, вычтем исходную силу тяготения (\(F_1\)) из измененной силы тяготения (\(F_2\)):

\[ \Delta F = F_2 - F_1 \]

\[ \Delta F = \frac{{G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0}}}{{9 \cdot r_0^2}} - \frac{{G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0}}}{{r_0^2}} \]

\[ \Delta F = \frac{{G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0} - 9 \cdot G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0}}}{{9 \cdot r_0^2}} \]

\[ \Delta F = \frac{{G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0} \cdot (1 - 9)}}{{9 \cdot r_0^2}} \]

\[ \Delta F = \frac{{-8 \cdot G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0}}}{{9 \cdot r_0^2}} \]

Таким образом, сила всемирного тяготения изменится на \(-\frac{{8 \cdot G \cdot m_{1_0} \cdot m_{2_0}}}{{9 \cdot r_0^2}}\).

Итак, мы получили шаг за шагом решение задачи и формулу для вычисления изменения силы всемирного тяготения.