Какая абсцисса точки касания для функции y = 2x^3 - 3x^2 - 24x + 5, если прямая y = 12x + 49 является ее касательной?

Хорошо! Чтобы найти абсциссу точки касания между функцией \(y = 2x^3 - 3x^2 - 24x + 5\) и прямой \(y = 12x + 49\), нам нужно найти такое значение \(x\), при котором эти два графика пересекаются.

Для начала, давайте запишем уравнение касательной в форме \(y = mx + c\), где \(m\) - это коэффициент наклона прямой, а \(c\) - это коэффициент сдвига (y-перехват). В данном случае, у нас уравнение касательной - \(y = 12x + 49\), где \(m = 12\) и \(c = 49\).

Затем мы должны найти производную функции \(y = 2x^3 - 3x^2 - 24x + 5\), чтобы найти коэффициент наклона касательной в точке касания. Чтобы найти производную этой функции, нам нужно продифференцировать каждый член функции по отдельности. Дифференцируя функцию \(y = 2x^3 - 3x^2 - 24x + 5\), мы получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 6x^2 - 6x - 24
\]

Теперь мы должны найти значение \(x\) при котором \( \frac{{dy}}{{dx}} \) равняется \(m\), то есть коэффициенту наклона касательной. В нашем случае, \(m = 12\), значит у нас есть уравнение:

\[
6x^2 - 6x - 24 = 12
\]

Решим это уравнение:

\[
6x^2 - 6x - 24 - 12 = 0
\]

Упростим:

\[
6x^2 - 6x - 36 = 0
\]

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 6\), \(b = -6\) и \(c = -36\). Подставим значения и вычислим:

\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-36) = 36 - (-864) = 900
\]

Дискриминант \(D\) положительный, значит уравнение имеет два действительных корня. Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

Запишем значения в формулу:

\[
x = \frac{{-(-6) \pm \sqrt{900}}}{{2 \cdot 6}}
\]

Теперь вычислим значения:

\[
x = \frac{{6 \pm 30}}{{12}}
\]

Разделим числитель и знаменатель на 6:

\[
x = \frac{{1 \pm 5}}{{2}}
\]

Теперь мы получили два возможных значения для \(x\): \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -2\).

Так как нас интересует абсцисса точки касания, то мы выберем \(x_1 = 3\). Подставим это значение обратно в уравнение функции \(y = 2x^3 - 3x^2 - 24x + 5\) для нахождения соответствующей ординаты:

\[
y = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 24(3) + 5
\]

Вычислим это:

\[
y = 2 \cdot 27 - 3 \cdot 9 - 72 + 5 = 54 - 27 - 72 + 5 = -40
\]

Таким образом, абсцисса точки касания для функции \(y = 2x^3 - 3x^2 - 24x + 5\) и прямой \(y = 12x + 49\) равняется 3, а ордината равна -40.