Какая абсцисса точки, где прямая у = kx + 2 касается графика функции f(x) = 1/2х^2 — 4х – 5/9 и проходит через точку

Для начала, давайте найдем производную функции f(x), чтобы найти ее наклон при каждой точке.

Функция f(x) имеет вид: \[f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}\]

Чтобы найти производную f"(x), мы возьмем производную каждого члена функции по отдельности.

Производная члена \(\frac{1}{2}x^2\) равна: \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2) = x\)

Производная члена -4x равна: \(\frac{d}{dx}(-4x) = -4\)

Производная члена \(-\frac{5}{9}\) равна: \(\frac{d}{dx}(-\frac{5}{9}) = 0\)

Теперь, найдем наклон прямой y = kx + 2, который равен коэффициенту k.

Поскольку прямая касается графика функции f(x), наклон прямой и наклон касательной к графику функции f(x) в данной точке будут равными.

Таким образом, нам необходимо найти значение k, чтобы k равнялось производной функции f(x) в данной точке.

Подставим значение x = -1 в производную функции f"(x):

\[k = f"(-1) = -1\]

Итак, наклон прямой y = kx + 2, которая касается графика функции f(x) и проходит через точку (-1, f(-1)), будет равен -1.

Теперь мы можем найти абсциссу точки, где прямая y = kx + 2 касается графика функции f(x). Для этого необходимо решить уравнение:

\[kx + 2 = f(x)\]

Подставим значение k = -1 и f(x) = \(\frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}\):

\[-x + 2 = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}\]

Для решения этого уравнения нам необходимо привести его к квадратному уравнению. Выполним это путем умножения всех членов на 9:

\[-9x + 18 = 4x^2 - 36x - 5\]

Теперь приведем все члены к квадратному виду, вычитая 4x^2 и 36x с обеих сторон:

\[4x^2 + 27x - 23 = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта. Для этого нам нужно найти значения a, b и c:

\[a = 4, b = 27, c = -23\]

Затем находим дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = 27^2 - 4(4)(-23)\]

\[D = 729 + 368\]

\[D = 1097\]

Поскольку дискриминант D положительный, уравнение имеет два корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{-27 \pm \sqrt{1097}}{8}\]

Таким образом, абсцисса точки, где прямая y = -x + 2 касается графика функции f(x) = \(\frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{5}{9}\), будет одним из значений x1 или x2:

\[x_{1} = \frac{-27 + \sqrt{1097}}{8}\]

\[x_{2} = \frac{-27 - \sqrt{1097}}{8}\]

Это два возможных значения, которые можно рассматривать как ответ на задачу.