Как выразить вектор mn через векторы

Для того чтобы выразить вектор \(\overrightarrow{mn}\) через векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), мы можем воспользоваться операциями сложения векторов и их умножения на скаляры.

Для начала, давайте представим векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) в виде координатных столбцов:

\[
\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}.
\]

Теперь будем искать вектор \(\overrightarrow{mn}\) в виде линейной комбинации векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[
\overrightarrow{mn} = x \cdot \overrightarrow{a} + y \cdot \overrightarrow{b},
\]

где \(x\) и \(y\) - произвольные скаляры.

Для нахождения коэффициентов \(x\) и \(y\) нам потребуется учесть, что вектор \(\overrightarrow{mn}\) является разностью координат векторов \(m\) и \(n\):

\[
\overrightarrow{mn} = \begin{pmatrix} m_x - n_x \\ m_y - n_y \\ m_z - n_z \end{pmatrix}.
\]

Теперь приравняем выражение для вектора \(\overrightarrow{mn}\), полученное через линейную комбинацию \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), к его выражению через координаты \(m\) и \(n\):

\[
\begin{pmatrix} m_x - n_x \\ m_y - n_y \\ m_z - n_z \end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}.
\]

Теперь мы можем записать систему уравнений, соответствующую этому равенству:

\[
\begin{align*}
m_x - n_x &= x \cdot a_x + y \cdot b_x, \\
m_y - n_y &= x \cdot a_y + y \cdot b_y, \\
m_z - n_z &= x \cdot a_z + y \cdot b_z.
\end{align*}
\]

Теперь решим эту систему уравнений относительно \(x\) и \(y\). Полученные значения \(x\) и \(y\) будут коэффициентами, с помощью которых мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{mn}\) через \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).

Вот шаги для решения системы уравнений:

1. Разделим первое уравнение системы на \(a_x\) и вычтем второе уравнение, разделенное на \(a_y\). Это даст нам выражение для \(x\):

\[
x = \frac{{m_x - n_x - \left( \frac{{m_y - n_y}}{{a_y}} \right) \cdot a_x}}{{b_x - \left( \frac{{b_y}}{{a_y}} \right) \cdot a_x}}.
\]

2. Подставим найденное значение \(x\) в первое уравнение системы:

\[
m_x - n_x = x \cdot a_x + y \cdot b_x.
\]

Выразим отсюда \(y\):

\[
y = \frac{{m_x - n_x - x \cdot a_x}}{{b_x}}.
\]

3. Теперь мы имеем значения \(x\) и \(y\), с помощью которых можно выразить вектор \(\overrightarrow{mn}\) через \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[
\overrightarrow{mn} = x \cdot \overrightarrow{a} + y \cdot \overrightarrow{b}.
\]

Подставим значения \(x\) и \(y\), найденные на предыдущих шагах, в это выражение, и получим итоговую формулу:

\[
\overrightarrow{mn} = \left( \frac{{m_x - n_x - \left( \frac{{m_y - n_y}}{{a_y}} \right) \cdot a_x}}{{b_x - \left( \frac{{b_y}}{{a_y}} \right) \cdot a_x}} \right) \cdot \overrightarrow{a} + \left( \frac{{m_x - n_x - \left( \frac{{m_y - n_y}}{{a_y}} \right) \cdot a_x}}{{b_x}} \right) \cdot \overrightarrow{b}.
\]

Таким образом, мы выразили вектор \(\overrightarrow{mn}\) через векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), используя операции сложения и умножения на скаляры.