Как выразить вектор mn через векторы

Для того чтобы выразить вектор $\overrightarrow{mn}$ через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, мы можем воспользоваться операциями сложения векторов и их умножения на скаляры.

Для начала, давайте представим векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ в виде координатных столбцов:

$$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right),\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right).$$

Теперь будем искать вектор $\overrightarrow{mn}$ в виде линейной комбинации векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$:

$$\overrightarrow{mn}=x\cdot \overrightarrow{a}+y\cdot \overrightarrow{b},$$

где $x$ и $y$ - произвольные скаляры.

Для нахождения коэффициентов $x$ и $y$ нам потребуется учесть, что вектор $\overrightarrow{mn}$ является разностью координат векторов $m$ и $n$:

$$\overrightarrow{mn}=\left(\begin{array}{c}{m}_x-n_x\\ m_y-n_y\\ m_z-n_z\end{array}\right).$$

Теперь приравняем выражение для вектора $\overrightarrow{mn}$, полученное через линейную комбинацию $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, к его выражению через координаты $m$ и $n$:

$$\left(\begin{array}{c}{m}_x-n_x\\ m_y-n_y\\ m_z-n_z\end{array}\right)=x\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)+y\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right).$$

Теперь мы можем записать систему уравнений, соответствующую этому равенству:

$$\begin{array}{rl}{m}_x-n_x& =x\cdot a_x+y\cdot b_x,\\ m_y-n_y& =x\cdot a_y+y\cdot b_y,\\ m_z-n_z& =x\cdot a_z+y\cdot b_z.\end{array}$$

Теперь решим эту систему уравнений относительно $x$ и $y$. Полученные значения $x$ и $y$ будут коэффициентами, с помощью которых мы можем выразить вектор $\overrightarrow{mn}$ через $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Вот шаги для решения системы уравнений:

1. Разделим первое уравнение системы на $a_x$ и вычтем второе уравнение, разделенное на $a_y$. Это даст нам выражение для $x$:

$$x=\frac{m_x-n_x-\left(\frac{m_y-n_y}{a_y}\right)\cdot a_x}{b_x-\left(\frac{b_y}{a_y}\right)\cdot a_x}.$$

2. Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы:

$$m_x-n_x=x\cdot a_x+y\cdot b_x.$$

Выразим отсюда $y$:

$$y=\frac{m_x-n_x-x\cdot a_x}{b_x}.$$

3. Теперь мы имеем значения $x$ и $y$, с помощью которых можно выразить вектор $\overrightarrow{mn}$ через $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$:

$$\overrightarrow{mn}=x\cdot \overrightarrow{a}+y\cdot \overrightarrow{b}.$$

Подставим значения $x$ и $y$, найденные на предыдущих шагах, в это выражение, и получим итоговую формулу:

$$\overrightarrow{mn}=\left(\frac{m_x-n_x-\left(\frac{m_y-n_y}{a_y}\right)\cdot a_x}{b_x-\left(\frac{b_y}{a_y}\right)\cdot a_x}\right)\cdot \overrightarrow{a}+\left(\frac{m_x-n_x-\left(\frac{m_y-n_y}{a_y}\right)\cdot a_x}{b_x}\right)\cdot \overrightarrow{b}.$$

Таким образом, мы выразили вектор $\overrightarrow{mn}$ через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, используя операции сложения и умножения на скаляры.