Как выразить множитель вне знака корня для выражения корня из -a^10b^5?

Чтобы выразить множитель вне знака корня в выражении \(\sqrt{-a^{10}b^5}\), нам придется разложить подкоренное выражение на простые множители.

Давайте разложим подкоренное выражение по правилу разложения на множители и сократим показатель степени:

\(\sqrt{-a^{10}b^5} = \sqrt{(-1)\cdot(a^2)^5\cdot b^5}\)

Заметим, что (-1) внутри корня можно записать так:

\(\sqrt{-1} = i\)

Используя это, дальше мы можем записать:

\(\sqrt{(-1)\cdot(a^2)^5\cdot b^5} = \sqrt{i^2\cdot(a^2)^5\cdot b^5}\)

Теперь мы можем применить правило разложения квадрата суммы или разности:

\(\sqrt{i^2\cdot(a^2)^5\cdot b^5} = \sqrt{(ia^5b^5)^2}\)

Из этого следует:

\(\sqrt{(ia^5b^5)^2} = ia^5b^5\)

Таким образом, множитель вне знака корня для выражения \(\sqrt{-a^{10}b^5}\) равен \(ia^5b^5\).

Обоснование каждого шага:

1. Мы разложили подкоренное выражение \(-a^{10}b^5\) на простые множители и сократили показатель степени, чтобы получить \((-1)\cdot(a^2)^5\cdot b^5\).
2. Мы заменили \(-1\) на \(i\) (мнимую единицу), чтобы выразить его внутри корня.
3. Мы заменили \((a^2)^5\) на \(a^5\), сокращая показатель степени.
4. Мы применили правило разложения квадрата суммы или разности, чтобы сократить корень и получить \((ia^5b^5)^2\).
5. Мы извлекли корень из квадрата, что дало \(ia^5b^5\).

Таким образом, множитель вне знака корня для выражения \(\sqrt{-a^{10}b^5}\) равен \(ia^5b^5\).