Как выполнить операцию вычитания дробей 36/a^3+3a-12/a?

Хорошо, я помогу вам выполнить операцию вычитания дробей \( \frac{{36}}{{a^3 + 3a}} - \frac{{12}}{{a}} \). Давайте выполним следующие шаги:

1. Нам необходимо найти общий знаменатель для этих двух дробей. Общим знаменателем будет \( a(a^3 + 3a) \), так как \( a \) у обоих дробей.

2. Теперь мы можем переписать каждую дробь с общим знаменателем:
\[ \frac{{36}}{{a^3 + 3a}} = \frac{{36 \cdot a}}{{a \cdot (a^3 + 3a)}} = \frac{{36a}}{{a^4 + 3a^2}} \]
\[ \frac{{12}}{{a}} = \frac{{12 \cdot (a^3 + 3a)}}{{a \cdot (a^3 + 3a)}} = \frac{{12a^3 + 36a}}{{a \cdot (a^3 + 3a)}} \]

3. Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель, и мы можем выполнить вычитание числителей:
\[ \frac{{36a}}{{a^4 + 3a^2}} - \frac{{12a^3 + 36a}}{{a \cdot (a^3 + 3a)}} \]

4. Прежде чем продолжить вычитание, давайте разложим знаменатель первой дроби \(a^4 + 3a^2\) на множители:
\[ a^4 + 3a^2 = a^2(a^2 + 3) \]

5. Теперь мы можем продолжить с вычитанием:
\[ \frac{{36a}}{{a^2(a^2 + 3)}} - \frac{{12a^3 + 36a}}{{a \cdot (a^3 + 3a)}} \]

6. Теперь нам необходимо привести обе дроби к общему знаменателю. У нас уже есть 1-й множитель \(a\) во второй дроби, и теперь нам нужно добавить его ко второй дроби:
\[ \frac{{36a}}{{a^2(a^2 + 3)}} - \frac{{(12a^3 + 36a) \cdot a}}{{a \cdot (a^3 + 3a) \cdot a}} \]

7. Продолжим с вычитанием:
\[ \frac{{36a - (12a^3 + 36a) \cdot a}}{{a^2(a^2 + 3)}} \]

8. Раскроем скобки:
\[ \frac{{36a - (12a^4 + 36a^2)}}{{a^2(a^2 + 3)}} \]

9. Теперь объединим подобные слагаемые:
\[ \frac{{36a - 12a^4 - 36a^2}}{{a^2(a^2 + 3)}} \]

10. Здесь мы видим, что числители содержат общий множитель \(12a^2\), поэтому мы можем его вынести за скобки:
\[ \frac{{12a^2(3 - a^2 - 3)}}{{a^2(a^2 + 3)}} \]

11. Упростим числитель:
\[ \frac{{12a^2(-a^2)}}{{a^2(a^2 + 3)}} \]

12. Здесь множитель \( a^2 \) сокращается в числителе и знаменателе:
\[ \frac{{12(-a^2)}}{{a^2 + 3}} \]

13. В итоге получаем ответ:
\[ \frac{{-12a^2}}{{a^2 + 3}} \]

Таким образом, вычитание дробей \( \frac{{36}}{{a^3 + 3a}} - \frac{{12}}{{a}} \) равно \( \frac{{-12a^2}}{{a^2 + 3}} \).