Как вычислить значение выражения (1 + tg^2 9 градусов) / (2tg 9 градусов) с использованием теории сложения?

Для того чтобы вычислить значение данного выражения по теории сложения, мы можем использовать следующие математические свойства:

1. Формула для сложения тангенсов:
\[\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 - \tg a \cdot \tg b}\]

2. Формула для квадратов тангенсов:
\[\tg^2 a = \frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a}\]

Теперь давайте применим эти свойства для вычисления значения данного выражения:

1. Заменим \(a\) на \(9\) градусов в формуле для квадратов тангенсов:
\[\tg^2 9 = \frac{1 - \cos^2 9}{\cos^2 9}\]

2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
\[\frac{(1 + \tg^2 9) - 1}{2 \cdot \tg 9} = \frac{\frac{1 - \cos^2 9}{\cos^2 9} - 1}{2 \cdot \tg 9}\]

3. Приведем выражение к общему знаменателю:
\[\frac{(1 - \cos^2 9) - \cos^2 9}{2 \cdot \cos^2 9 \cdot \tg 9} = \frac{1 - 2 \cos^2 9}{2 \cdot \cos^2 9 \cdot \tg 9}\]

4. Распишем числитель упрощая выражение:
\[1 - 2 \cos^2 9 = 1 - 2 \cdot \left(\frac{1 + \cos 18}{2}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{(1 + \cos 18)^2}{4}\]

5. Вынесем общий множитель:
\[1 - 2 \cdot \frac{(1 + \cos 18)^2}{4} = 1 - \frac{1 + \cos 18}{2} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{\cos 18}{2}\]

6. Упростим числитель:
\[1 - \frac{1}{2} - \frac{\cos 18}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\cos 18}{2} = \frac{1 - \cos 18}{2}\]

Таким образом, значение выражения \(\frac{(1 + \tg^2 9)}{(2 \cdot \tg 9)}\) с использованием теории сложения равно \(\frac{1 - \cos 18}{2}\).