Как вычислить значение ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения для заданной дискретной случайной величины

Для вычисления значения ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения для заданной дискретной случайной величины и закона распределения, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите ожидание (математическое ожидание) по формуле:
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
\]
где \(E(X)\) - ожидание, \(x_i\) - значение случайной величины, \(p_i\) - вероятность появления этого значения.

Подставляя значения из задачи, получим:
\[
E(X) = 4 \cdot 0.4 + 6 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2 + 12 \cdot 0.3 = 4 \cdot 0.4 + 6 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2 + 12 \cdot 0.3 = 1.6 + 0.6 + 2 + 3.6 = 8.8
\]

Таким образом, ожидание равно 8.8.

2. Далее, найдем дисперсию случайной величины по формуле:
\[
Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i
\]
где \(Var(X)\) - дисперсия, \(x_i\) - значение случайной величины, \(E(X)\) - ожидание, \(p_i\) - вероятность.

Подставляя значения из задачи, получим:
\[
Var(X) = (4 - 8.8)^2 \cdot 0.4 + (6 - 8.8)^2 \cdot 0.1 + (10 - 8.8)^2 \cdot 0.2 + (12 - 8.8)^2 \cdot 0.3
\]
\[
= (-4.8)^2 \cdot 0.4 + (-2.8)^2 \cdot 0.1 + (1.2)^2 \cdot 0.2 + (3.2)^2 \cdot 0.3
\]
\[
= 23.04 \cdot 0.4 + 7.84 \cdot 0.1 + 1.44 \cdot 0.2 + 10.24 \cdot 0.3
\]
\[
= 9.216 + 0.784 + 0.288 + 3.072
\]
\[
= 13.36
\]

Таким образом, дисперсия равна 13.36.

3. Наконец, найдем среднеквадратичное отклонение. Оно равно квадратному корню из дисперсии:
\[
\sigma = \sqrt{Var(X)}
\]
\[
\sigma = \sqrt{13.36}
\]
\[
\sigma \approx 3.659
\]

Таким образом, среднеквадратичное отклонение равно примерно 3.659.

В результате выполнения всех указанных шагов, найдены значения ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения для данной дискретной случайной величины и закона распределения. Ожидание равно 8.8, дисперсия равна 13.36, а среднеквадратичное отклонение примерно равно 3.659.