Как вычислить скорость точек среды, находящихся от источника на расстоянии 51 см через 2 мс после начала колебаний

Конечно, давайте разберемся в этой задаче пошагово.

У нас дано уравнение плоской волны:
\[e(x, t) = a \cos(\omega t - kx)\]

где:
\(a\) - амплитуда колебаний (5 мкм),
\(\omega\) - угловая частота (в радианах в миллисекунду),
\(k\) - волновое число (в обратных сантиметрах).

Для начала, найдем угловую частоту \(\omega\).
У нас известно, что период колебаний точек среды равен 1 мс (миллисекунде).
Период (Т) связан со значением угловой частоты (ω) следующим образом:
\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Подставим известные значения:
\[1 \text{ мс} = \frac{2\pi}{\omega}\]

Произведем несложные преобразования и выразим \(\omega\):
\[\omega = \frac{2\pi}{1 \text{ мс}} = 2\pi\text{ рад/мс}\]

Далее, найдем волновое число \(k\).
Длина волны (λ) связана со значением волнового числа (k) следующим образом:
\[\lambda = \frac{2\pi}{k}\]

Подставим известные значения:
\[34 \text{ см} = \frac{2\pi}{k}\]

Выразим \(k\):
\[k = \frac{2\pi}{34 \text{ см}} = \frac{\pi}{17 \text{ см}}\]

Теперь мы можем использовать полученные значения \(\omega\) и \(k\) для нахождения скорости точек среды через 2 мс после начала колебаний.

Найдем расположение точки от источника колебаний:
\[x = 51 \text{ см}\]

Найдем время после начала колебаний:
\[t = 2 \text{ мс}\]

Подставим все значения в уравнение плоской волны:
\[e(51, 2) = 5\text{ мкм} \cos(2\pi \text{ мс} - \frac{\pi}{17 \text{ см}}\cdot 51 \text{ см})\]

Произведем вычисления:
\[e(51, 2) = 5\text{ мкм} \cos(2\pi \text{ мс} - 3\pi \text{ мс})\]

Сократим с одним множителем \(\pi\):
\[e(51, 2) = 5\text{ мкм} \cos(-\pi \text{ мс})\]

Так как \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\), получаем:
\[e(51, 2) = 5\text{ мкм} \cos(\pi \text{ мс})\]

Известно, что \(\cos(\pi) = -1\), поэтому:
\[e(51, 2) = 5\text{ мкм} \cdot (-1)\]

Вычисляем:
\[e(51, 2) = -5\text{ мкм}\]

Таким образом, скорость точек среды, находящихся от источника на расстоянии 51 см через 2 мс после начала колебаний, равна -5 мкм. Отрицательное значение скорости говорит о том, что точки среды движутся в противоположную сторону по отношению к направлению распространения волны.