Как вычислить log0,9 100 - log0,9 81? Я нуждаюсь в полном решении

Хорошо, я с радостью помогу вам подробно решить эту задачу. Для начала, давайте вспомним некоторые основные свойства логарифмов.

Свойство 1: \(\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\)
Свойство 2: \(\log_a b^n = n \cdot \log_a b\)

Итак, у нас есть выражение \(\log_{0,9} 100 - \log_{0,9} 81\). Мы можем использовать свойство 1, чтобы объединить эти два логарифма в один:

\(\log_{0,9} \left(\frac{100}{81}\right)\)

Теперь давайте решим это выражение. Мы знаем, что \(\frac{100}{81} = \frac{10^2}{9^2}\). Мы можем записать это в виде:

\(\log_{0,9} \left(\frac{10^2}{9^2}\right)\)

Используя свойство 2, мы можем переписать это выражение как:

\(2 \cdot \log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\)

Давайте вычислим значение \(\log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\). Мы ищем число, возведение в степень которого дает \(\frac{10}{9}\), если мы используем базу 0,9. Другими словами, мы ищем число \(x\), такое что \(0,9^x = \frac{10}{9}\).

Мы можем привести исходное уравнение к эквивалентному виду:

\(0,9^x = \frac{10}{9}\)

Применив свойство логарифма, мы получим:

\(x = \log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\)

Таким образом, ответ на нашу задачу - это \(2 \cdot \log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\), а чтобы найти значение этого выражения, нам нужно вычислить \(\log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\).

Похоже, что у нас есть замкнутый цикл, поскольку мы ищем то же самое выражение, которое мы и пытаемся вычислить. Однако мы можем использовать метод подстановки, чтобы решить это.

Пусть \(y = \log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\). Мы знаем, что \(0,9^y = \frac{10}{9}\). Возведем обе части в степень \(0,9\):

\((0,9^y)^{0,9} = \left(\frac{10}{9}\right)^{0,9}\)

\(0,9^{0,9y} = \left(\frac{10}{9}\right)^{0,9}\)

Теперь мы имеем уравнение, которое можем решить. Если мы возведем обе части в степень \(\frac{1}{0,9}\), то получим:

\(0,9^{0,9y \cdot \frac{1}{0,9}} = \left(\frac{10}{9}\right)^{0,9 \cdot \frac{1}{0,9}}\)

\(0,9^y = \left(\frac{10}{9}\right)^{1}\)

\(0,9^y = \frac{10}{9}\)

Мы видим, что \(0,9^y = \frac{10}{9}\) — это исходное уравнение, которое мы уже решали. Таким образом, решением этого уравнения является \(y\), то есть \(y = \log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\).

Теперь мы можем вернуться к нашему исходному выражению:

\(2 \cdot \log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right) = 2 \cdot y = 2 \cdot \log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\)

Таким образом, ответ на задачу \(log0,9 100 - log0,9 81\) равен \(2 \cdot \log_{0,9} \left(\frac{10}{9}\right)\).