Сколько монет номиналом в 5 рублей было у Кости, если у него было 20 монет разных номиналов (2 рубля, 5 рублей

Давайте решим эту задачу пошагово. У нас есть информация о трех номиналах монет, которыми располагал Костя: монеты номиналом 2 рубля, 5 рублей и 10 рублей. Известно, что у него было в общей сложности 20 монет. Давайте обозначим количество монет каждого номинала: \(x\) - количество монет номиналом 2 рубля, \(y\) - количество монет номиналом 5 рублей и \(z\) - количество монет номиналом 10 рублей.

Из условия задачи также известно, что Костя потратил все монеты на покупку мячика за 135 рублей. Это означает, что сумма денег, которую он потратил, должна быть равна 135 рублей.

Теперь мы можем сформулировать уравнение на основе полученной информации. Сумма денег, которую потратил Костя, можно выразить как:

\[2x + 5y + 10z = 135\]

Также нам известно, что у Кости было в общей сложности 20 монет разных номиналов:

\[x + y + z = 20\]

У нас получилась система из двух уравнений с двумя неизвестными. Для её решения мы можем воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

Давайте воспользуемся методом вычитания и избавимся от переменной \(x\). Умножим оба уравнения первой системы на 2, чтобы уравнять коэффициенты при \(x\):

\[
\begin{cases}
2x + 5y + 10z = 135 \\
2x + 2y + 2z = 40 \\
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[
(2x - 2x) + (5y - 2y) + (10z - 2z) = 135 - 40
\]

Упростим:

\[
3y + 8z = 95
\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
3y + 8z = 95 \\
x + y + z = 20 \\
\end{cases}
\]

Можно заметить, что коэффициент при \(y\) в первом уравнении дает нам возможность легко избавиться от переменной \(y\) при сложении уравнений. Умножим первое уравнение на 1 и второе уравнение на -3:

\[
\begin{cases}
3y + 8z = 95 \\
-3y - 3z = -60 \\
\end{cases}
\]

Сложим оба уравнения:

\[
(3y - 3y) + (8z - 3z) = 95 - 60
\]

Получим:

\[
5z = 35
\]

Разделим обе части уравнения на 5:

\[
z = 7
\]

Теперь найдем значение переменной \(y\). Подставим найденное значение \(z = 7\) в любое из двух исходных уравнений. Давайте воспользуемся первым уравнением:

\[
3y + 8z = 95
\]

Подставим \(z = 7\):

\[
3y + 8 \cdot 7 = 95
\]

Вычисляем:

\[
3y + 56 = 95
\]

Вычтем 56 из обеих частей уравнения:

\[
3y = 39
\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[
y = 13
\]

Теперь найдем значение переменной \(x\). Подставим найденные значения \(y = 13\) и \(z = 7\) в любое из двух исходных уравнений. Пусть это будет второе уравнение:

\[
x + y + z = 20
\]

Подставим \(y = 13\) и \(z = 7\):

\[
x + 13 + 7 = 20
\]

Вычисляем:

\[
x + 20 = 20
\]

Вычтем 20 из обеих частей уравнения:

\[
x = 0
\]

Таким образом, мы получили значения переменных: \(x = 0\), \(y = 13\) и \(z = 7\). Это означает, что у Кости не было монет номиналом в 5 рублей. Таким образом, Костя тратил только монеты номиналом 2 рубля и 10 рублей, и у него было 7 монет номиналом в 10 рублей и ни одной монеты номиналом в 2 рубля.