Как вы можете построить график функции y=3/x и указать область определения функции? Что такое y(-2) и y(1,5)? Как найти

Хорошо, давайте начнем с построения графика функции \(y = \frac{3}{x}\). Для этого нам необходимо построить несколько точек на графике и нарисовать гладкую кривую через них.

Чтобы найти точки на графике, мы можем выбрать различные значения \(x\) и вычислить соответствующие значения \(y\). Например, пусть мы возьмем несколько значений \(x\) и вычислим соответствующие значения \(y\):

\[
\begin{{align*}}
x &= -3, & y &= \frac{3}{-3} = -1 \\
x &= -2, & y &= \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \\
x &= -1, & y &= \frac{3}{-1} = -3 \\
x &= 1, & y &= \frac{3}{1} = 3 \\
x &= 2, & y &= \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \\
x &= 3, & y &= \frac{3}{3} = 1 \\
\end{{align*}}
\]

Теперь у нас есть несколько значений \(x\) и их соответствующие значения \(y\). Мы можем использовать эти точки, чтобы построить график на координатной плоскости. Выглядит это так:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\ \hline
-3 & -1 \\ \hline
-2 & -\frac{3}{2} \\ \hline
-1 & -3 \\ \hline
1 & 3 \\ \hline
2 & \frac{3}{2} \\ \hline
3 & 1 \\ \hline
\end{array}
\]

\[
\begin{{array}}{{c}}
\\
\begin{{tikzpicture}}
\begin{{axis}}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-4, xmax=4,
ymin=-4, ymax=4,
xtick={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},
ytick={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},
grid=both,
]
\addplot[
color=blue,
domain=-4:-0.1,
samples=100,
] {3/x};
\addplot[
color=blue,
domain=0.1:4,
samples=100,
] {3/x};
\end{{axis}}
\end{{tikzpicture}}
\\
\end{{array}}
\]

Таким образом, график функции \(y = \frac{3}{x}\) представляет собой гиперболу, проходящую через точки, которые мы построили. Он симметричен относительно оси x и оси y.

Теперь перейдем к области определения функции \(y = \frac{3}{x}\). Область определения - это множество всех значений, которые может принимать переменная \(x\) при заданной функции. В данном случае, поскольку функция включает деление на \(x\), мы должны исключить значение \(x = 0\), потому что деление на ноль недопустимо. Таким образом, область определения функции \(y = \frac{3}{x}\) - это все значения \(x\), кроме \(x = 0\).

Теперь давайте рассмотрим значения \(y(-2)\) и \(y(1,5)\). Это означает, что мы хотим найти значения \(y\) при \(x = -2\) и \(x = 1,5\) соответственно. Мы можем использовать данную функцию, подставить соответствующие значения \(x\) и вычислить \(y\):

При \(x = -2\):
\[y(-2) = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\]

При \(x = 1,5\):
\[y(1,5) = \frac{3}{1,5} = 2\]

Таким образом, \(y(-2) = -\frac{3}{2}\) и \(y(1,5) = 2\).

Далее, нам нужно найти значения \(x\), когда \(y(x) = -4\) и \(y(x) = 3\). Чтобы найти такие значения, мы можем подставить \(y\) вместо \(y(x)\) в уравнение функции и решить его относительно \(x\):

Когда \(y = -4\):
\[-4 = \frac{3}{x}\]
Умножим обе части уравнения на \(x\):
\[-4x = 3\]
Разделим обе части уравнения на \(-4\):
\[x = -\frac{3}{4}\]

Когда \(y = 3\):
\[3 = \frac{3}{x}\]
Умножим обе части уравнения на \(x\):
\[3x = 3\]
Разделим обе части уравнения на \(3\):
\[x = 1\]

Таким образом, при \(y(x) = -4\) значение \(x\) равно \(-\frac{3}{4}\), а при \(y(x) = 3\) значение \(x\) равно \(1\).

Наконец, давайте определим при каких значениях \(x\) функция принимает положительные и отрицательные значения. Обратим внимание, что функция \(y = \frac{3}{x}\) положительна, когда знаки числителя и знаменателя совпадают, и отрицательна, когда знаки числителя и знаменателя разные.

Исходя из этого, функция \(y = \frac{3}{x}\) принимает положительные значения, когда \(x > 0\) или \(x < 0\) и \(\frac{3}{x} > 0\). Здесь мы должны исключить значение \(x = 0\), потому что у функции есть вертикальная асимптота при \(x = 0\).

Функция \(y = \frac{3}{x}\) принимает отрицательные значения, когда \(x < 0\) и \(\frac{3}{x} < 0\).

Таким образом, функция \(y = \frac{3}{x}\) принимает положительные значения при \(x > 0\) и отрицательные значения при \(x < 0\).

Я надеюсь, что с помощью этого подробного объяснения вы теперь полностью понимаете, как построить график функции \(y = \frac{3}{x}\), определить область определения, найти значения \(y(-2)\) и \(y(1,5)\), а также найти значения \(x\), когда \(y(x) = -4\) и \(y(x) = 3\), и определить при каких значениях \(x\) функция принимает положительные и отрицательные значения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.