126 Докажите, используя метод доказательства от противного, что для всех натуральных чисел а и b, число 17 не может

Для доказательства от противного выполним следующую логическую цепочку:

Предположим, что существуют натуральные числа \(a\) и \(b\), для которых число 17 является корнем уравнения \(ax^2 - bx = 0\). То есть, у нас есть следующее уравнение:

\[a \cdot x^2 - b \cdot x = 17 \quad (1)\]

Теперь предположим, что это уравнение имеет решение. Тогда существует хотя бы одно значение \(x\), удовлетворяющее уравнению. Чтобы показать, что это предположение неверно, мы должны доказать, что на самом деле такого значения \(x\) не существует.

Предположим, что \(x_0\) - это решение уравнения (1). Это означает, что подстановка \(x_0\) в уравнение даёт нам 17:

\[a \cdot x_0^2 - b \cdot x_0 = 17 \quad (2)\]

Теперь возьмем оба выражения (1) и (2) и вычтем их:

\[(a \cdot x^2 - b \cdot x) - (a \cdot x_0^2 - b \cdot x_0) = 0\]

Упростим:

\[a \cdot (x^2 - x_0^2) - b \cdot (x - x_0) = 0\]

Факторизуем левую часть используя формулу разности квадратов:

\[a \cdot (x - x_0) \cdot (x + x_0) - b \cdot (x - x_0) = 0\]

Получаем:

\[(x - x_0) \cdot (a \cdot (x + x_0) - b) = 0\]

Так как уравнение равно нулю, то одно из слагаемых должно быть равно нулю:

\[x - x_0 = 0 \quad \text{или} \quad a \cdot (x + x_0) - b = 0\]

Из первого выражения получаем, что \(x = x_0\). Теперь второе выражение можно записать так:

\[a \cdot (2x_0) - b = 0\]

Но мы знаем, что 17 не является корнем уравнения, значит, это означает, что \(2x_0\) не равно 17. Однако, такое значение \(x_0\) найти невозможно, потому что 17 нечётное число и не может быть представлено как удвоенное натуральное число.

Таким образом, мы пришли к противоречию, что означает, что наше изначальное предположение было неверным, и число 17 не может быть корнем уравнения \(ax^2 - bx = 0\) для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\).

Такое рассуждение позволяет нам заключить, что уравнение \(ax^2 - bx = 17\) не имеет решений при всех натуральных числах \(a\) и \(b\).