Как решить уравнение 2sin(x+pi/4)=tgx+ctgx?

Хорошо, давайте начнем с решения данного уравнения шаг за шагом.

1. Начнем с приведения уравнения к более простому виду. Мы видим, что уравнение содержит тригонометрические функции sin и tg, а также их обратные функции cos и ctg.

2. Заметим, что tg(x) это sin(x)/cos(x), а ctg(x) это cos(x)/sin(x). Заменим tg(x) на sin(x)/cos(x) и ctg(x) на cos(x)/sin(x).

3. Уравнение теперь становится: 2sin(x+pi/4) = sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x).

4. Для удобства умножим обе части уравнения на cos(x)sin(x), чтобы избавиться от знаменателей.

5. Умножив каждый член уравнения на cos(x)sin(x), получим: 2sin(x+pi/4)cos(x)sin(x) = sin(x)sin(x) + cos(x)cos(x).

6. Приведем выражения в квадратах к общему знаменателю и упростим: 2sin(x+pi/4)cos(x)sin(x) = sin^2(x) + cos^2(x).

7. Вспомним тригонометрическую тождества. Одно из них гласит, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Таким образом, у нас теперь есть следующее уравнение: 2sin(x+pi/4)cos(x)sin(x) = 1.

8. Разложим sin(x+pi/4) с использованием формулы суммы для sin: sin(x)cos(pi/4)+cos(x)sin(pi/4). Это даст нам: 2(sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x))cos(x)sin(x) = 1.

9. Упростим выражение: 2cos(x)sin(x)cos^2(x) + 2cos(x)sin(x)sin^2(x) = 1.

10. Получаем: 2cos^3(x)sin(x) + 2cos(x)sin^3(x) = 1.

11. Поделим каждую часть уравнения на 2: cos^3(x)sin(x) + cos(x)sin^3(x) = 1/2.

12. Мы видим, что данное уравнение содержит произведения синусов и косинусов высших степеней. Для решения данного уравнения необходимо применить численные методы или использовать графический метод. Это означает, что мы не можем найти аналитическое решение уравнения.

Таким образом, ответом на данную задачу является: уравнение 2sin(x+pi/4) = tg(x) + ctgx не имеет аналитического решения в рамках обычных школьных методов решения уравнений. Для его решения требуются численные методы или графический метод.