Как решить следующую систему уравнений? {3x+2y=5 2x^2+3y=12

Чтобы решить эту систему уравнений, мы будем использовать метод подстановки.

Данная система состоит из двух уравнений:
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 5 \\
2x^2 + 3y = 12 \\
\end{cases}
\]

Давайте разберемся с первым уравнением:
\[3x + 2y = 5\]

Мы можем выразить \(x\) через \(y\), чтобы подставить это во второе уравнение. Выразим \(x\):
\[3x = 5 - 2y\]
\[x = \frac{{5 - 2y}}{3}\]

Теперь, заменяем \(x\) во втором уравнение, используя полученное выражение:
\[2\left(\frac{{5 - 2y}}{3}\right)^2 + 3y = 12\]

Давайте разложим это уравнение и решим его пошагово:

1. Возведем в квадрат выражение \(\frac{{5 - 2y}}{3}\):
\[\frac{1}{9}(5 - 2y)^2 + 3y = 12\]

2. Раскроем квадрат:
\[\frac{1}{9}(25 - 20y + 4y^2) + 3y = 12\]

3. Упростим эту часть уравнения:
\[\frac{1}{9}(4y^2 - 20y + 25) + 3y = 12\]

4. Умножим каждый член уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби:
\[4y^2 - 20y + 25 + 27y = 108\]

5. Соберем все члены уравнения:
\[4y^2 + 7y + 25 = 108\]

6. Перенесем 108 налево:
\[4y^2 + 7y + 25 - 108 = 0\]

7. Упростим это квадратное уравнение:
\[4y^2 + 7y - 83 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения \(y\).

Для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант вычисляется как \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 4\), \(b = 7\), и \(c = -83\):
\[D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot -83\]
\[D = 49 + 1336\]
\[D = 1385\]

Теперь найдем значения \(y\) с использованием формулы дискриминанта:
\[y_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-7 + \sqrt{1385}}}{2 \cdot 4}\]
\[y_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-7 - \sqrt{1385}}}{2 \cdot 4}\]

Подставим значения \(y\) в первое уравнение для того, чтобы найти соответствующие значения \(x\).

Первый корень:
\[x_1 = \frac{{5 - 2y_1}}{3}\]

Второй корень:
\[x_2 = \frac{{5 - 2y_2}}{3}\]

Мы получили два возможных значения для \(x\) и \(y\). Чтобы окончательно решить систему уравнений, необходимо подставить найденные значения в исходную систему и проверить, верны ли они.