Как решить следующее уравнение: умножить синус x на косинус 5x и вычесть умножение синус 9x на косинус

Пожалуйста, вот пошаговое решение задачи:

1. Нам дано уравнение: \(\sin x \cdot \cos 5x - \sin 9x \cdot \cos x\).
2. Давайте заменим произведение синуса и косинуса через формулу двойного угла: \(\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a\).
3. Подставим формулу для первого слагаемого: \(\sin x \cdot \cos 5x = \frac{1}{2} \sin (2x + 3x)\).
4. Распишем второе слагаемое аналогичным образом: \(\sin 9x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin (10x - x)\).
5. Преобразуем оба слагаемых и вычислим разность: \(\frac{1}{2} \sin (2x + 3x) - \frac{1}{2} \sin (10x - x)\).
6. Используем формулу разности синусов: \(\sin (a - b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b\).
7. Заменяем оба слагаемых используя формулу разности синусов: \(\frac{1}{2} (\sin 2x \cdot \cos 3x + \cos 2x \cdot \sin 3x) - \frac{1}{2} (\sin 10x \cdot \cos x - \cos 10x \cdot \sin x)\).
8. Упростим полученное выражение: \(\frac{1}{2} (\sin 2x \cdot \cos 3x + \cos 2x \cdot \sin 3x) - \frac{1}{2} (\sin 10x \cdot \cos x - \cos 10x \cdot \sin x)\).
9. Заметим, что первое и третье слагаемые в каждой скобке можно объединить: \(\frac{1}{2} (\sin 2x \cdot \cos 3x - \sin 10x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin 3x - \cos 10x \cdot \sin x)\).
10. Теперь используем формулы синуса и косинуса для представления произведений в виде сумм и разностей: \(\frac{1}{2} \left(\sin(2x+3x) - \sin(10x+x) + \sin(2x+3x) - \sin(10x-x)\right)\).
11. Упростим выражение снова: \(\frac{1}{2} (2\sin 5x \cdot \cos x + 2\sin 5x \cdot \cos x)\).
12. Используем свойство синуса \(\sin(-a) = -\sin a\) для упрощения выражения: \(\frac{1}{2} (2\sin 5x \cdot \cos x - 2\sin 5x \cdot \cos x)\).
13. Наконец, упростим выражение ещё раз: \(0\).
14. Полученное значение \(0\) означает, что исходное уравнение равно \(0\): \(\sin x \cdot \cos 5x - \sin 9x \cdot \cos x = 0\).

Таким образом, решение уравнения состоит в нахождении значений \(x\), которые удовлетворяют данному равенству. В конечном итоге, получили, что данное уравнение имеет единственное решение - \(x = 0\).