Как решить систему уравнений с помощью метода Гаусса: 3x+2y+z=5, 2x+3y+z=1, 2x+y+3z=11?

Хорошо, рассмотрим метод Гаусса для решения данной системы уравнений:

1. Сначала составим расширенную матрицу системы, которая будет представлять собой матрицу коэффициентов, расширенную столбцом значений:
\[\begin{bmatrix}3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 11 \end{bmatrix}\]

2. Наша цель - привести расширенную матрицу к ступенчатому виду (или диагональному виду), чтобы решить систему.

3. Вначале проведем элементарные преобразования, чтобы получить нули под первым элементом первого столбца. Для этого вычтем из второй строки первую, умноженную на \(\frac{2}{3}\), и из третьей строки первую, умноженную на \(\frac{2}{3}\):
\[\begin{bmatrix}3 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{7}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{7}{3} & \frac{13}{3} \end{bmatrix}\]

4. Затем проведем элементарное преобразование, чтобы получить ноль под первым элементом второго столбца. Для этого вычтем из третьей строки вторую, умноженную на \(\frac{1}{5}\):
\[\begin{bmatrix}3 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 2 & \frac{8}{3} \end{bmatrix}\]

5. Теперь, когда матрица находится в ступенчатом виде, мы можем найти значения переменных задачи. Обратный ход будет выглядеть следующим образом:
- Уравнение третьей строки: \(2z = \frac{8}{3}\). Решив это уравнение, получим \(z = \frac{4}{3}\).
- Подставим полученное значение \(z\) во вторую строку и решим уравнение: \(\frac{5}{3}y + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{7}{3}\). Решив это уравнение, получим \(y = -1\).
- И, наконец, подставим найденные значения \(y\) и \(z\) в первое уравнение: \(3x + 2 \cdot (-1) + \frac{4}{3} = 5\). Решив это уравнение, получим \(x = \frac{5}{3}\).

6. Таким образом, решение данной системы уравнений методом Гаусса: \(x = \frac{5}{3}\), \(y = -1\), \(z = \frac{4}{3}\).