Как решить неравенство: 2x ≥ log₃ (35/2 * 6^(x-1) - 3 * 4^(x-1/2

Чтобы решить данное неравенство, нам понадобится использовать свойства логарифмов и экспонент. Давайте начнем.

1. Сначала заметим, что неравенство содержит две переменные: x и логарифм. Поэтому нам нужно найти область значений x, при которых выполняется неравенство.

2. Применим свойство логарифма: \(\log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c)\). Используя это свойство, преобразуем выражение внутри логарифма:

\(\log_3 \left(\frac{35}{2} \cdot 6^{x-1} - 3 \cdot 4^{\left(x - \frac{1}{2}\right)}\right)\)
\(= \log_3 \left(\frac{35}{2}\right) + \log_3 \left(6^{x-1}\right) - \log_3 \left(3 \cdot 4^{\left(x - \frac{1}{2}\right)}\right)\)
\(= \log_3 \left(\frac{35}{2}\right) + (x-1)\log_3(6) - \left(\log_3(3) + \log_3(4) \cdot \left(x - \frac{1}{2}\right)\right)\)
\(= \log_3 \left(\frac{35}{2}\right) + (x-1)\log_3(6) - \left(\log_3(3) + 2(x - \frac{1}{2})\right)\)

3. Далее, заменим \(\log_3(\frac{35}{2})\) на переменную, например, пусть \(a = \log_3(\frac{35}{2})\). Тогда неравенство примет вид:

\(2x \geq a + (x-1)\log_3(6) - \left(\log_3(3) + 2(x - \frac{1}{2})\right)\)

4. Теперь сгруппируем переменные и константы:

\(2x \geq a + (x-1)\log_3(6) - \log_3(3) - 2x + 1\)

5. Упростим выражение:

\(2x - 2x \geq a + (x-1)\log_3(6) - \log_3(3) + 1\)

6. Уберем одинаковые слагаемые:

\(0 \geq a + (x-1)\log_3(6) - \log_3(3) + 1\)

7. Теперь преобразуем неравенство, чтобы выразить x:

\((x-1)\log_3(6) \geq \log_3(3) - a - 1\)

8. Разделим обе части на \(\log_3(6)\):

\(x-1 \geq \frac{\log_3(3) - a - 1}{\log_3(6)}\)

9. Добавим 1 к обеим частям:

\(x \geq 1 + \frac{\log_3(3) - a - 1}{\log_3(6)}\)

Таким образом, решением данного неравенства будет \(x\geq 1 + \frac{\log_3(3) - a - 1}{\log_3(6)}\), где \(a = \log_3(\frac{35}{2})\).