Как решить данное неравенство: X+ 11x+4/x-5 + x^2 - 19x-48/x^2 - 8x+15>

Для начала, давайте приведем дроби к общему знаменателю. У нас есть две дроби: \(\frac{11x+4}{x-5}\) и \(\frac{x^2-19x-48}{x^2-8x+15}\). Заметим, что знаменатели обеих дробей являются квадратными трехчленами.

Разложим квадратные трехчлены на множители:

\((x^2 - 8x + 15) = (x - 3)(x - 5)\)
\((x^2 - 19x - 48) = (x - 8)(x + 6)\)

Теперь можем записать наше неравенство с общим знаменателем:

\(\frac{x(x - 3)(x - 5) + (11x+4)(x - 8)(x + 6)}{(x - 3)(x - 5)} > 0\)

Раскроем скобки и сократим общие множители:

\(\frac{x(x - 3)(x - 5) + (11x+4)(x - 8)(x + 6)}{(x - 3)(x - 5)} > 0\)

\(\frac{x(x^2 - 8x + 15) + (11x+4)(x^2 - 14x - 48)}{(x - 3)(x - 5)} > 0\)

\(\frac{x^3 - 8x^2 + 15x + 11x^3 - 144x - 144 + 4x^2 - 56x - 192}{(x - 3)(x - 5)} > 0\)

Теперь объединим подобные слагаемые и упростим:

\(\frac{12x^3 - 188x - 336}{(x - 3)(x - 5)} > 0\)

Проверим значения x, при которых это неравенство истинно. Для этого проведем анализ знака:

1. Рассмотрим интервал отрицательных значений x:
Пусть \(x < 0\), проверим знаки внутри промежутка:
- \((x - 3)\) отрицательно
- \((x - 5)\) отрицательно
- \((12x^3 - 188x - 336)\) отрицательно

Имеем отрицательное число, поделенное на отрицательное число:
Отрицательное число делить на отрицательное даёт положительное число.
Таким образом, на интервале \((-\infty, 0)\) неравенство истинно.

2. Рассмотрим интервал положительных значений x:
Пусть \(x > 0\), проверим знаки внутри промежутка:
- \((x - 3)\) положительно
- \((x - 5)\) отрицательно
- \((12x^3 - 188x - 336)\) положительно

Имеем положительное число, поделенное на отрицательное число:
Положительное число делится на отрицательное даёт отрицательное число.
Таким образом, на интервале \((3, 5)\) неравенство ложно.

3. Рассмотрим интервал между \(x = 0\) и \(x = 3\):
Проверим знаки внутри промежутка:
- \((x - 3)\) отрицательно
- \((x - 5)\) отрицательно
- \((12x^3 - 188x - 336)\) отрицательно

Имеем отрицательное число, поделенное на отрицательное число:
Отрицательное число делить на отрицательное даёт положительное число.
Таким образом, на интервале \((0, 3)\) неравенство истинно.

4. Рассмотрим интервал между \(x = 3\) и \(x = 5\):
Проверим знаки внутри промежутка:
- \((x - 3)\) положительно
- \((x - 5)\) отрицательно
- \((12x^3 - 188x - 336)\) отрицательно

Имеем положительное число, поделенное на отрицательное число:
Положительное число делится на отрицательное даёт отрицательное число.
Таким образом, на интервале \((3, 5)\) неравенство ложно.

5. Рассмотрим интервал после \(x = 5\):
Пусть \(x > 5\), проверим знаки внутри промежутка:
- \((x - 3)\) положительно
- \((x - 5)\) положительно
- \((12x^3 - 188x - 336)\) положительно

Имеем положительное число, поделенное на положительное число:
Положительное число делится на положительное даёт положительное число.
Таким образом, на интервале \((5, +\infty)\) неравенство истинно.

Итак, мы получили, что неравенство истинно на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((5, +\infty)\), а на интервалах \((0, 3)\) и \((3, 5)\) оно ложно.