Как рассчитать предел функции без использования правила Лопиталя?

Конечно, я могу вам помочь с решением задачи о расчете предела функции без использования правила Лопиталя. Предлагаю рассмотреть следующий метод: применение базовых предельных свойств и разложение функции в ряд Тейлора.

Для примера, рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{{e^x - 1}}{{x}}\) и найдем ее предел при \(x \to 0\) без применения правила Лопиталя.

Шаг 1: Применение базовых предельных свойств.
Исходя из предельных свойств, мы можем представить функцию \(f(x)\) в виде:

\[f(x) = \frac{{e^x - 1}}{{x}} = \frac{{e^x - e^0}}{{x - 0}} = \frac{{e^x - e^0}}{{x - 0}}.\]

Шаг 2: Разложение функции в ряд Тейлора.
Мы можем разложить функцию \(e^x\) в ряд Тейлора в окрестности точки \(x = 0\). Разложение будет выглядеть следующим образом:

\[e^x = 1 + x + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^3}}{{3!}} + \dotsb.\]

Теперь, заменим \(e^x\) в функции \(f(x)\) разложенным рядом Тейлора:

\[f(x) = \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^3}}{{3!}} + \dotsb - 1}}{{x}} = \frac{{x + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^3}}{{3!}} + \dotsb}}{{x}}.\]

Шаг 3: Упрощение выражения.
Упростим полученное выражение, разделив каждый член на \(x\):

\[f(x) = 1 + \frac{{x}}{{2!}} + \frac{{x^2}}{{3!}} + \dotsb.\]

Шаг 4: Нахождение предела.
Теперь, найдем предел функции \(f(x)\) при \(x \to 0\). Обратите внимание, что мы получили ряд, состоящий из положительных членов, поэтому его предел будет равен сумме всех членов ряда:

\[\lim_{{x \to 0}} f(x) = 1 + \frac{{0}}{{2!}} + \frac{{0^2}}{{3!}} + \dotsb = 1.\]

Таким образом, предел функции \(f(x) = \frac{{e^x - 1}}{{x}}\) при \(x \to 0\) без использования правила Лопиталя равен 1.

Надеюсь, что такое подробное пошаговое объяснение поможет вам лучше понять процесс расчета предела функции без использования правила Лопиталя. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!