Как построить график функции Y=(x-3)^2/x^2+9?

Хорошо, давайте разберемся, как построить график функции \(y=\frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}}\).

Шаг 1: Найдем точки, в которых функция может иметь разрывы.
Функция \(y\) будет иметь разрывы там, где знаменатель равен нулю, то есть когда \(x^2+9=0\). Но такое уравнение не имеет действительных корней, поэтому функция не будет иметь разрывов.

Шаг 2: Определим поведение функции на бесконечности.
Когда значение \(x\) становится очень большим или очень маленьким, то \(x^2\) будет гораздо больше, чем \(3x\) и 9. Поэтому, наши функция \(y\) будет стремиться к нулю как \(x\) стремится к плюс или минус бесконечности.

Шаг 3: Найдем точки пересечения с осями координат.
Для этого нам нужно найти значения \(x\), при которых \(y=0\). Подставив \(y=0\), мы получим уравнение \(\frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}}=0\). Решение этого уравнения дают два значения \(x=3\). Таким образом, у функции будут две точки пересечения с осью \(Ox\) при \(x=3\).

Шаг 4: Построим таблицу значений.
Выберем несколько значений \(x\), чтобы построить график функции.
Давайте возьмем \(x=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\) и найдем соответствующие значения \(y\).

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & 0.065 \\
-2 & 0.5 \\
-1 & 1.6 \\
0 & \text{не существует} \\
1 & 0.6 \\
2 & 0.5 \\
3 & 0 \\
4 & 0.12 \\
5 & 0.21 \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 5: Построим график.
Теперь, используя полученные значения, нарисуем точки на координатной плоскости и соединим их гладкой кривой.


На данном графике функции \(y=\frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}}\) мы видим, что у функции есть две точки пересечения с осью \(Ox\) при \(x=3\), а также она симметрична относительно оси \(Oy\). Она стремится к нулю при \(x\) стремится к плюс или минус бесконечности.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять, как построить график данной функции. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!