Как построить график функции y = 2|х-5| - х^2 + 11х?

Хорошо, давайте разберемся, как построить график функции \(y = 2|x-5| - x^2 + 11x\).

Шаг 1: Начнем с анализа основных характеристик функции \(y = 2|x-5| - x^2 + 11x\).

Первый член функции \(2|x-5|\) представляет собой модуль. Это означает, что значение выражения внутри модуля \(|x-5|\) всегда будет неотрицательным. Это гарантирует, что функция \(y = 2|x-5|\) будет всегда положительной или равной нулю.

Второй член функции \(-x^2\) является квадратичным членом. Он представляет параболу, которая отрицательна и открывается вниз.

Третий член функции \(11x\) является линейным членом.

Шаг 2: Определение точек перегиба функции.

Точка перегиба функции определяется из равенства нулю второй производной функции. Для нашей функции производная равна:

\[y" = 2\cdot\operatorname{sgn}(x-5) - 2x + 11\]

Где \(\operatorname{sgn}(x-5)\) - функция знака с аргументом \(x-5\).

Найдя производную функции и приравняв ее к нулю, мы найдем точки перегиба.

\[2\cdot\operatorname{sgn}(x-5) - 2x + 11 = 0\]

\[2\cdot\operatorname{sgn}(x-5) = 2x - 11\]

\[\operatorname{sgn}(x-5) = x - \frac{11}{2}\]

Таким образом, точка перегиба функции находится при \(x = \frac{11}{2}\).

Шаг 3: Определение поведения функции за пределами точек перегиба.

Теперь мы можем проанализировать поведение функции в различных интервалах, используя точку перегиба \(x = \frac{11}{2}\).

1) Если \(x < \frac{11}{2}\):
В этом случае, \(\operatorname{sgn}(x-5) = -1\), поэтому функция \(y = 2|x-5| - x^2 + 11x\) переходит в \(y = -2(x-5) - x^2 + 11x\).

2) Если \(x > \frac{11}{2}\):
В этом случае, \(\operatorname{sgn}(x-5) = 1\), поэтому функция \(y = 2|x-5| - x^2 + 11x\) остается без изменений.

Шаг 4: Построение графика функции.

Теперь, имея всю эту информацию, мы можем приступить к построению графика функции.

- Первым шагом нарисуем параболу \(y = -x^2 + 11x\). Для этого можно использовать факторизацию, вершину параболы (при \(x = \frac{11}{2}\)) и учет знака коэффициента при старшей степени.

- Затем нарисуем график функции \(y = 2(x-5)\). Это прямая через точку (5, 0), проходящая через всю положительную полуплоскость.

- Теперь нарисуем сам график функции \(y = 2|x-5| - x^2 + 11x\), основываясь на анализе поведения функции за пределами точки перегиба и параболы.

Вот подробное решение задачи построения графика функции \(y = 2|x-5| - x^2 + 11x\). Надеюсь, это поможет вам лучше понять эту задачу и построить график функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.