Как построить график функции y = 2|х-5| - х^2 + 11х?

Хорошо, давайте разберемся, как построить график функции $y=2|x-5|-x^2+11x$.

Шаг 1: Начнем с анализа основных характеристик функции $y=2|x-5|-x^2+11x$.

Первый член функции $2|x-5|$ представляет собой модуль. Это означает, что значение выражения внутри модуля $|x-5|$ всегда будет неотрицательным. Это гарантирует, что функция $y=2|x-5|$ будет всегда положительной или равной нулю.

Второй член функции $-x^2$ является квадратичным членом. Он представляет параболу, которая отрицательна и открывается вниз.

Третий член функции $11x$ является линейным членом.

Шаг 2: Определение точек перегиба функции.

Точка перегиба функции определяется из равенства нулю второй производной функции. Для нашей функции производная равна:

$$y"=2\cdot \mathrm{sgn}(x-5)-2x+11$$

Где $\mathrm{sgn}(x-5)$ - функция знака с аргументом $x-5$.

Найдя производную функции и приравняв ее к нулю, мы найдем точки перегиба.

$$2\cdot \mathrm{sgn}(x-5)-2x+11=0$$

$$2\cdot \mathrm{sgn}(x-5)=2x-11$$

$$\mathrm{sgn}(x-5)=x-\frac{11}{2}$$

Таким образом, точка перегиба функции находится при $x=\frac{11}{2}$.

Шаг 3: Определение поведения функции за пределами точек перегиба.

Теперь мы можем проанализировать поведение функции в различных интервалах, используя точку перегиба $x=\frac{11}{2}$.

1) Если $x<\frac{11}{2}$:
В этом случае, $\mathrm{sgn}(x-5)=-1$, поэтому функция $y=2|x-5|-x^2+11x$ переходит в $y=-2(x-5)-x^2+11x$.

2) Если $x>\frac{11}{2}$:
В этом случае, $\mathrm{sgn}(x-5)=1$, поэтому функция $y=2|x-5|-x^2+11x$ остается без изменений.

Шаг 4: Построение графика функции.

Теперь, имея всю эту информацию, мы можем приступить к построению графика функции.

- Первым шагом нарисуем параболу $y=-x^2+11x$. Для этого можно использовать факторизацию, вершину параболы (при $x=\frac{11}{2}$) и учет знака коэффициента при старшей степени.

- Затем нарисуем график функции $y=2(x-5)$. Это прямая через точку (5, 0), проходящая через всю положительную полуплоскость.

- Теперь нарисуем сам график функции $y=2|x-5|-x^2+11x$, основываясь на анализе поведения функции за пределами точки перегиба и параболы.

Вот подробное решение задачи построения графика функции $y=2|x-5|-x^2+11x$. Надеюсь, это поможет вам лучше понять эту задачу и построить график функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.